В подобных треугольниках KMN и K1M1N1 и известно, что KM = 4, KN = 8, MN = 10 и периметр треугольника K1M1N1 равен 220. Найти M1N1.

Для решения задачи найдем длину стороны \(M_1N_1\) в подобном треугольнике \(K_1M_1N_1\). Мы знаем, что два треугольника подобны, и поэтому у них соответствующие стороны пропорциональны.

Шаг 1: Определим стороны треугольника \(KMN\)

Имеем следующие значения:

• \(KM = 4\)
• \(KN = 8\)
• \(MN = 10\)

Шаг 2: Найдем периметр треугольника \(KMN\)

Периметр \(P\) равен сумме всех сторон: \[ P = KM + KN + MN = 4 + 8 + 10 = 22. \]

Шаг 3: Найдем коэффициент подобия

Мы знаем, что периметр треугольника \(K_1M_1N_1\) равен 220. Поскольку треугольники подобны, их периметры также находятся в отношении, равном коэффициенту подобия \(k\): \[ k = \frac{P_{K_1M_1N_1}}{P_{KMN}} = \frac{220}{22} = 10. \]

Шаг 4: Найдем длины сторон треугольника \(K_1M_1N_1\)

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника \(K_1M_1N_1\) по отношению к сторонам треугольника \(KMN\):

• \(K_1M_1 = KM \cdot k = 4 \cdot 10 = 40\)
• \(K_1N_1 = KN \cdot k = 8 \cdot 10 = 80\)
• \(M_1N_1 = MN \cdot k = 10 \cdot 10 = 100\)

Шаг 5: Ответ

Таким образом, длина стороны \(M_1N_1\) составляет \(100\).

\[ \boxed{100} \]