Для решения этой задачи воспользуемся уравнением состояния газа и законом Бойля-Мариотта. Ключевым моментом является то, что для постоянного количества вещества (газа) давление (P), объем (V) и температура (T) связаны следующим образом:
[
\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}
]
где:
- (P_1) и (P_2) — начальное и конечное давление газа,
- (V_1) и (V_2) — начальный и конечный объем газа (мы будем считать, что объем баллона постоянен, следовательно (V_1 = V_2 = V)),
- (T_1) и (T_2) — начальная и конечная температура газа в кельвинах.
Сначала преобразуем температуры из градусов Цельсия в Кельвины, добавив 273:
[
T_1 = 7 + 273 = 280 , K
]
[
T_2 = 27 + 273 = 300 , K
]
Теперь запишем уравнение состояния для начального и конечного состояний газа:
[
\frac{P_1 V}{T_1} = \frac{P_2 V_{2}}{T_2}
]
Так как объем является постоянной величиной, его можно исключить из уравнения:
[
\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}
]
Заметим, что, если часть газа была израсходована, то давление газа изменилось не только из-за изменения температуры, но и из-за изменения количества газа, поэтому мы перепишем равенство так:
Сначала найдем отношение давлений и температур:
[
\frac{P_1}{T_1} = \frac{2,84 , \text{МПа}}{280 , K} \approx 0,01014 , \text{МПа/K}
]
[
\frac{P_2}{T_2} = \frac{1,52 , \text{МПа}}{300 , K} \approx 0,00507 , \text{МПа/K}
]
Теперь по отношению полученных значений можно определить, какая часть газа осталась в баллоне:
Если обозначить исходное кол-во газа как (n_1) и конечное количество газа как (n_2), то:
[
\frac{n_1}{T_1} = \frac{n_2 P_2}{T_2}
]
Отсюда, выражая количество газа, получаем:
[
\frac{n_2}{n_1} = \frac{P_2 \cdot T_1}{P_1 \cdot T_2}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{n_2}{n_1} = \frac{1,52 \cdot 280}{2,84 \cdot 300} \approx \frac{425.6}{852} \approx 0.5007
]
Это означает, что осталось около 50,07% газа от первоначального количества.
Таким образом, часть израсходованного газа:
[
\text{Часть израсходованного газа} = 1 - \frac{n_2}{n_1} \approx 1 - 0.5007 = 0.4993
]
или около 49,93%.
Ответ: приблизительно 49,93% газа было израсходовано.
