Периметр прямоугольника равен 14 см а его диагональ равна 5 см найдите стороны прямоугольника

Для решения задачи давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). ### Шаг 1: Используем формулу периметра Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле: \[ P = 2(a + b) \] Мы знаем, что периметр \(P = 14\) см, следовательно: \[ 2(a + b) = 14 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 7 \quad (1) \] ### Шаг 2: Используем формулу для диагонали Далее, мы также знаем, что диагональ прямоугольника \(d\) связана со сторонами по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] В нашей задаче \(d = 5\) см, что дает нам уравнение: \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 5 \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ a^2 + b^2 = 25 \quad (2) \] ### Шаг 3: Решение системы уравнений Теперь у нас есть система уравнений: 1. \(a + b = 7\) (уравнение 1) 2. \(a^2 + b^2 = 25\) (уравнение 2) Из уравнения \(a + b = 7\) выразим одну из переменных через другую. Пусть \(b = 7 - a\). Подставим это выражение во второе уравнение (уравнение 2): \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \] Сложим подобные члены: \[ 2a^2 - 14a + 49 = 25 \] Вычтем 25 из обеих сторон: \[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \] ### Шаг 4: Упрощение уравнения Упростим уравнение, поделив его на 2: \[ a^2 - 7a + 12 = 0 \] ### Шаг 5: Решение квадратного уравнения Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Значит, корни равны: \[ a = \frac{7 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2} \] То есть: 1. \(a_1 = \frac{8}{2} = 4\) 2. \(a_2 = \frac{6}{2} = 3\) ### Шаг 6: Найдем стороны Теперь, зная \(a\), мы можем найти \(b\): Если \(a = 4\), то \(b = 7 - 4 = 3\). Если \(a = 3\), то \(b = 7 - 3 = 4\). Таким образом, стороны прямоугольника равны: \[ a = 4 \, \text{см}, \, b = 3 \, \text{см} \] ### Ответ Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.