периметр прямоугольника равен 14 см а его диагональ равна 5 см найдите стороны прямоугольника
Для решения задачи давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\).
Шаг 1: Используем формулу периметра
Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле:
\[ P = 2(a + b) \]
Мы знаем, что периметр \(P = 14\) см, следовательно:
\[ 2(a + b) = 14 \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ a + b = 7 \quad (1) \]
Шаг 2: Используем формулу для диагонали
Далее, мы также знаем, что диагональ прямоугольника \(d\) связана со сторонами по формуле:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
В нашей задаче \(d = 5\) см, что дает нам уравнение:
\[ \sqrt{a^2 + b^2} = 5 \]
Возведем обе стороны в квадрат:
\[ a^2 + b^2 = 25 \quad (2) \]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система уравнений:
- \(a + b = 7\) (уравнение 1)
- \(a^2 + b^2 = 25\) (уравнение 2)
Из уравнения \(a + b = 7\) выразим одну из переменных через другую. Пусть \(b = 7 - a\). Подставим это выражение во второе уравнение (уравнение 2):
\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]
Сложим подобные члены:
\[ 2a^2 - 14a + 49 = 25 \]
Вычтем 25 из обеих сторон:
\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Упростим уравнение, поделив его на 2:
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Значит, корни равны:
\[ a = \frac{7 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2} \]
То есть:
- \(a_1 = \frac{8}{2} = 4\)
- \(a_2 = \frac{6}{2} = 3\)
Шаг 6: Найдем стороны
Теперь, зная \(a\), мы можем найти \(b\):
Если \(a = 4\), то \(b = 7 - 4 = 3\).
Если \(a = 3\), то \(b = 7 - 3 = 4\).
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
\[ a = 4 \, \text{см}, \, b = 3 \, \text{см} \]
Ответ
Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.
