Два космонавта, Питер и Вальтер, прибыли на орбиту Марса. Одному из них предстоит пробная высадка. Чтобы решить, кто первым ступит на поверхность планеты, они придумали игру: сложили банки из-под консервов в две кучки. За один ход игрок может добавить в любую из кучек одну банку или увеличить количество банок в любой кучке в два раза. Например, в одной кучке  12 12 банок, а во второй  7 7; обозначим это как  (  12 , 7  ) (12,7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:  (  13 ,   7  ) (13, 7),  (  24 ,   7  ) (24, 7),  (  12 ,   8  ) (12, 8) или  (  12 ,   14  ) (12, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество банок. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество банок в обеих кучках становится не менее  63 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход (то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучках будет  63 63 банки или более). На момент начала игры в первой кучке было  7 7 банок, а во второй — S банок  (  8 ≤ S ≤ 55  ) (8≤S≤55). Будем считать, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может победить при любых ходах соперника. Известно, что Вальтер победил в игре своим первым ходом после неудачного первого хода Питера. При каком минимальном значении S такая ситуация возможна?

Эта задача требует анализа игры между двумя космонавтами, чтобы определить минимальное количество банок в одной из кучек, при котором Вальтер может выиграть после первого хода Питера. ### Шаги решения: 1. **Определим начальные условия**: - Первая кучка: 7 банок - Вторая кучка: S банок (где 8 ≤ S ≤ 55) - Игра завершается, когда сумма банок в обеих кучках не менее 63. То есть, на первоначальном этапе у нас есть такая позиция: \[ (7, S) \] 2. **Определим окончательное условие для победы**: Чтобы выиграть, игрок должен сделать ход, который приводит к положению, где общее количество банок составляет 63 или более. Это значит, что: \[ 7 + S \geq 63 \implies S \geq 56 \] Но учитываемый диапазон для S ограничен от 8 до 55, поэтому на этом этапе понятно, что Питер не может выиграть сразу. 3. **Выигрышные ситуации для Вальтера**: Поскольку известно, что Питер делает неудачный первый ход, это означает, что после его хода Вальтер должен иметь возможность выиграть — т.е., он должен быть в состоянии привести суммы до 63 или выше всего за один ход. 4. **Исследуем возможные ходы Питера**: Давайте рассмотрим ситуации, при которых Питер не может избежать проигрыша: - Питер добавляет 1 банку к первой кучке: \[ (8, S) \] Сумма: \( 8 + S \) - Питер добавляет 1 банку ко второй кучке: \[ (7, S + 1) \] Сумма: \( 7 + S + 1 = 8 + S \) - Питер удваивает банки в первой кучке: \[ (14, S) \] Сумма: \( 14 + S \) - Питер удваивает банки во второй кучке: \[ (7, 2S) \] Сумма: \( 7 + 2S \) 5. **Проверяем условия выигрыша Вальтера**: После каждого из этих ходов Вальтер должен сделать ход, который приведет к 63 или более. То есть нужны такие значения S, чтобы: - Для \( (8, S) \) или \( (7, S+1) \): \[ 8 + S \geq 63 \implies S \geq 55 \] Таким образом, если S равно 55, Питер переводит в \( (8, 55) \), и Вальтер может довести сумму до 64 добавив 1 банку в первую кучку \( (9, 55) \) или удвоив во второй кучке \( (8, 110) \). - Для \( (14, S) \): \[ 14 + S \geq 63 \implies S \geq 49 \] С S = 49, Вальтер можно засчитать \( (14, 49) \) и выиграть, добавляя 1 банку или удваивая. - Для \( (7, 2S) \): \[ 7 + 2S \geq 63 \implies 2S \geq 56 \implies S \geq 28 \] Таким образом, если мы берём минимально возможное значение S, которое позволяет Вальтеру выиграть несмотря на ход Питера, то: **Ответ**: Для минимального значения S, при котором Вальтер может выиграть, это S = 55.