Баскетболист на тренировке бросает мяч в кольцо 12 раз. Вероятность попадания при каждой отдельной попытке равна 0,4. Во сколько раз вероятность события «ровно 4 попадания» больше…

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, которая описывает вероятность успеха в определённом количестве испытаний.

Формула биномиальной вероятности выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произошло ровно \( k \) раз,
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \),
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 12),
• \( k \) — количество успехов (попаданий в кольцо),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае 0.4),
• \( (1 - p) \) — вероятность неуспеха.

Теперь рассчитаем вероятность попадания ровно 4 раз и ровно 3 раз.

1. Вероятность ровно 4 попаданий:

Подставим значения в формулу:

• \( n = 12 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = 0.4 \)

\[ P(X = 4) = C(12, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{8} \]

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(12, 4) \):

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot (12 - 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 495 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^8 \]

Посчитаем \( (0.4)^4 \) и \( (0.6)^8 \):

\[ (0.4)^4 = 0.0256, \quad (0.6)^8 = 0.01679616 \]

Теперь подставим эти значения:

\[ P(X = 4) = 495 \cdot 0.0256 \cdot 0.01679616 \approx 0.2079 \]

2. Вероятность ровно 3 попаданий:

Аналогично:

• \( k = 3 \)

\[ P(X = 3) = C(12, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{9} \]

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(12, 3) \):

\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 3) = 220 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{9} \]

Посчитаем \( (0.4)^3 \) и \( (0.6)^9 \):

\[ (0.4)^3 = 0.064, \quad (0.6)^9 \approx 0.010616 \]

Теперь подставим эти значения:

\[ P(X = 3) = 220 \cdot 0.064 \cdot 0.010616 \approx 0.1493 \]

3. Ratio of probabilities:

Теперь найдем, во сколько раз вероятность события «ровно 4 попадания» больше вероятности события «ровно 3 попадания»:

\[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} \approx \frac{0.2079}{0.1493} \approx 1.39 \]

Ответ: Вероятность события «ровно 4 попадания» примерно в 1.39 раз больше вероятности события «ровно 3 попадания».