Баскетболист на тренировке бросает мяч в кольцо 12 раз. Вероятность попадания при каждой отдельной попытке равна 0,4. Во сколько раз вероятность события «ровно 4 попадания» больше вероятности события «ровно 3 попадания»?

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, которая описывает вероятность успеха в определённом количестве испытаний. Формула биномиальной вероятности выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где: - \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произошло ровно \( k \) раз, - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \), - \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 12), - \( k \) — количество успехов (попаданий в кольцо), - \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае 0.4), - \( (1 - p) \) — вероятность неуспеха. Теперь рассчитаем вероятность попадания ровно 4 раз и ровно 3 раз. ### 1. Вероятность ровно 4 попаданий: Подставим значения в формулу: - \( n = 12 \) - \( k = 4 \) - \( p = 0.4 \) \[ P(X = 4) = C(12, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{8} \] Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(12, 4) \): \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot (12 - 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \] Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 4) = 495 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^8 \] Посчитаем \( (0.4)^4 \) и \( (0.6)^8 \): \[ (0.4)^4 = 0.0256, \quad (0.6)^8 = 0.01679616 \] Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 4) = 495 \cdot 0.0256 \cdot 0.01679616 \approx 0.2079 \] ### 2. Вероятность ровно 3 попаданий: Аналогично: - \( k = 3 \) \[ P(X = 3) = C(12, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{9} \] Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(12, 3) \): \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \] Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 3) = 220 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{9} \] Посчитаем \( (0.4)^3 \) и \( (0.6)^9 \): \[ (0.4)^3 = 0.064, \quad (0.6)^9 \approx 0.010616 \] Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 3) = 220 \cdot 0.064 \cdot 0.010616 \approx 0.1493 \] ### 3. Ratio of probabilities: Теперь найдем, во сколько раз вероятность события «ровно 4 попадания» больше вероятности события «ровно 3 попадания»: \[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} \approx \frac{0.2079}{0.1493} \approx 1.39 \] Ответ: Вероятность события «ровно 4 попадания» примерно в 1.39 раз больше вероятности события «ровно 3 попадания».