Даны две правильные четырехугольные пирамиды. У первой пирамиды объём равен 40 40 . Найди объём второй пирамиды, если известно, что её высота в 1 , 6 1,6 раза меньше, а сторона…
Даны две правильные четырехугольные пирамиды. У первой пирамиды объём равен 40 40. Найди объём второй пирамиды, если известно, что её высота в 1 , 6 1,6 раза меньше, а сторона основания в 2 2 раза больше.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Мы имеем две правильные четырехугольные пирамиды.
Обозначение данных:
- Объём первой пирамиды \( V_1 = 40 \).
- Высота второй пирамиды в \( 1,6 \) раза меньше, чем высота первой.
- Сторона основания второй пирамиды в \( 2 \) раза больше, чем сторона основания первой.
Формула для объёма правильной четырёхугольной пирамиды: Объём пирамиды можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h \] где:
- \( V \) — объём пирамиды,
- \( S_b \) — площадь основания,
- \( h \) — высота.
Находим параметры первой пирамиды: Объём первой пирамиды: \[ V_1 = \frac{1}{3} \cdot S_{b_1} \cdot h_1 \] Известно, что \( V_1 = 40 \).
Параметры второй пирамиды: Обозначим:
- Высота первой пирамиды — \( h_1 \).
- Сторона основания первой пирамиды — \( a_1 \).
- Площадь основания первой пирамиды: \[ S_{b_1} = a_1^2 \] Тогда объём первой пирамиды можно переписать как: \[ V_1 = \frac{1}{3} \cdot a_1^2 \cdot h_1 = 40 \]
Находим объём второй пирамиды: Высота второй пирамиды: \[ h_2 = \frac{h_1}{1,6} \] Сторона основания второй пирамиды: \[ a_2 = 2a_1 \] Площадь основания второй пирамиды: \[ S_{b_2} = a_2^2 = (2a_1)^2 = 4a_1^2 \]
Формула для объёма второй пирамиды: Теперь можем записать объём второй пирамиды: \[ V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_{b_2} \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot 4a_1^2 \cdot \frac{h_1}{1,6} \]
Подставляем значение объёма первой пирамиды: Подставим в выражение для \( V_2 \): \[ V_2 = \frac{4}{1,6} \cdot \frac{1}{3} \cdot a_1^2 \cdot h_1 \] Известно, что \( \frac{1}{3} \cdot a_1^2 \cdot h_1 = 40 \): \[ V_2 = \frac{4}{1,6} \cdot 40 \]
Считаем итоговый объём второй пирамиды: Переделим \( \frac{4}{1,6} \): \[ \frac{4}{1,6} = 2.5 \] Теперь подставим значение: \[ V_2 = 2.5 \cdot 40 = 100 \]
Ответ: Объём второй пирамиды \( V_2 = 100 \).
Таким образом, объём второй пирамиды составляет 100.
