x² y² 3xy=1 3y x=0 решите систему управления
Чтобы решить систему уравнений \(x^2 y^2 + 3xy = 1\) и \(3y = x\), начнем с подстановки из второго уравнения в первое.
Запишем уравнения:
\[ x^2 y^2 + 3xy = 1 \tag{1} \] \[ 3y = x \tag{2} \]
Подставим \(x\) из уравнения (2) в уравнение (1):
Из уравнения (2) выразим \(x\): \[ x = 3y \] Теперь подставим это значение в уравнение (1): \[ (3y)^2 y^2 + 3(3y)y = 1 \]
Упростим уравнение: \[ 9y^2 y^2 + 9y^2 = 1 \] \[ 9y^4 + 9y^2 = 1 \] Делим на 9: \[ y^4 + y^2 - \frac{1}{9} = 0 \]
Введем замену: Обозначим \(z = y^2\). Тогда уравнение примет вид: \[ z^2 + z - \frac{1}{9} = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратных уравнений: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -\frac{1}{9}\). Подставим значения: \[ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{1}{9}}}{2 \cdot 1} \] \[ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + \frac{4}{9}}}{2} \] \[ z = \frac{-1 \pm \sqrt{\frac{13}{9}}}{2} \] \[ z = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{13}}{3}}{2} \]
Подсчитаем возможные значения \(z\): \[ z_{1} = \frac{-1 + \frac{\sqrt{13}}{3}}{2}, \quad z_{2} = \frac{-1 - \frac{\sqrt{13}}{3}}{2} \]
Поскольку \(z = y^2\) должно быть неотрицательным, будем рассматривать только \(z_{1}\). Теперь найдем \(y\): \[ y^2 = z_{1} = \frac{-1 + \frac{\sqrt{13}}{3}}{2} \] Если \(z_{1} < 0\), то решение не существует. Проверим это на числе: \[ -1 + \frac{\sqrt{13}}{3} \text{ и } -1 - \frac{\sqrt{13}}{3} < 0 \quad (\text{поскольку } \sqrt{13} \approx 3.61) \] Поэтому: \[ y^2 = z_{1} > 0 \] Теперь найдем \(y\) и, соответственно, \(x\): \[ y = \sqrt{y^2} \quad и \quad x = 3y \]
Получаем финальные значения: Это требует поднять квадратный корень, чтобы получить значения y и затем x. Результаты будут двумя парами \((x, y)\).
Таким образом, мы нашли решение системы.
