Реши
Чтобы сравнить \( \frac{500!}{408! \cdot 12} \) и \( \frac{500!}{499! \cdot 3} \), упростим оба выражения.
Упрощение выражений:
Для \( \frac{500!}{408! \cdot 12} \):
\[ \frac{500!}{408! \cdot 12} = \frac{500 \times 499 \times \ldots \times 409}{12} \]
Числитель — это произведение всех чисел от 500 до 409.
Для \( \frac{500!}{499! \cdot 3} \):
\[ \frac{500!}{499! \cdot 3} = \frac{500 \times 499!}{499! \times 3} = \frac{500}{3} \]
Здесь числитель просто 500.
Сравнение:
Нам теперь нужно сравнить \( \frac{500 \times 499 \times \ldots \times 409}{12} \) и \( \frac{500}{3} \).
Заметим, что \( \frac{500 \times 499 \times \ldots \times 409}{12} \) является намного большим числом, так как оно включает множество множителей от 409 до 499, которые увеличивают числитель значительно по сравнению с 500 в другом выражении.
Вывод:
\[ \frac{500!}{408! \cdot 12} > \frac{500!}{499! \cdot 3} \]
Таким образом, первый факториал больше второго.
