Реши

Чтобы сравнить \( \frac{500!}{408! \cdot 12} \) и \( \frac{500!}{499! \cdot 3} \), упростим оба выражения. 1. **Упрощение выражений:** - Для \( \frac{500!}{408! \cdot 12} \): \[ \frac{500!}{408! \cdot 12} = \frac{500 \times 499 \times \ldots \times 409}{12} \] Числитель — это произведение всех чисел от 500 до 409. - Для \( \frac{500!}{499! \cdot 3} \): \[ \frac{500!}{499! \cdot 3} = \frac{500 \times 499!}{499! \times 3} = \frac{500}{3} \] Здесь числитель просто 500. 2. **Сравнение:** Нам теперь нужно сравнить \( \frac{500 \times 499 \times \ldots \times 409}{12} \) и \( \frac{500}{3} \). Заметим, что \( \frac{500 \times 499 \times \ldots \times 409}{12} \) является намного большим числом, так как оно включает множество множителей от 409 до 499, которые увеличивают числитель значительно по сравнению с 500 в другом выражении. 3. **Вывод:** \[ \frac{500!}{408! \cdot 12} > \frac{500!}{499! \cdot 3} \] Таким образом, первый факториал больше второго.