Чтобы доказать неравенство ( 25m^2 + n^2 \geq 10mn ), начнем с использования метода, который позволяет нам упростить выражение. Мы можем сделать это через преобразование неравенства в форму, которая будет легко проанализировать.
Неравенство, которое мы хотим доказать, можно перезаписать следующим образом:
[
25m^2 - 10mn + n^2 \geq 0
]
Теперь заметим, что это выражение является квадратом некоторого бинома. Можно попробовать привести его к форме полного квадрата.
Рассмотрим выражение ( 25m^2 - 10mn + n^2 ):
- Первое слагаемое – это ( (5m)^2 ).
- Второе слагаемое можно записать как ( -2 \cdot (5m) \cdot (n) ).
- Третье слагаемое – это ( n^2 ), которое может быть записано как ( (n)^2 ).
Таким образом, мы можем переписать неравенство:
[
(5m - n)^2 \geq 0
]
Теперь мы заметим, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Значит, ( (5m - n)^2 \geq 0 ) верно для любых значений ( m ) и ( n ).
Таким образом, мы пришли к выводу, что неравенство
[
25m^2 + n^2 \geq 10mn
]
действительно верно для любых действительных ( m ) и ( n ). Это завершает наше доказательство.
