докажите неравенство 25m²+n²≥ 10mn

Чтобы доказать неравенство \( 25m^2 + n^2 \geq 10mn \), начнем с использования метода, который позволяет нам упростить выражение. Мы можем сделать это через преобразование неравенства в форму, которая будет легко проанализировать.

Неравенство, которое мы хотим доказать, можно перезаписать следующим образом:

\[ 25m^2 - 10mn + n^2 \geq 0 \]

Теперь заметим, что это выражение является квадратом некоторого бинома. Можно попробовать привести его к форме полного квадрата.

Рассмотрим выражение \( 25m^2 - 10mn + n^2 \):

• Первое слагаемое – это \( (5m)^2 \).
• Второе слагаемое можно записать как \( -2 \cdot (5m) \cdot (n) \).
• Третье слагаемое – это \( n^2 \), которое может быть записано как \( (n)^2 \).

Таким образом, мы можем переписать неравенство:

\[ (5m - n)^2 \geq 0 \]

Теперь мы заметим, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Значит, \( (5m - n)^2 \geq 0 \) верно для любых значений \( m \) и \( n \).

Таким образом, мы пришли к выводу, что неравенство

\[ 25m^2 + n^2 \geq 10mn \]

действительно верно для любых действительных \( m \) и \( n \). Это завершает наше доказательство.