Решим задачу по нахождению неизвестной частоты в заданном числовом наборе. Для этого будем пользоваться формулой для вычисления средneго арифметического:
[
\text{Среднее} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}
]
где (x_i) — это значения (в нашем случае 11, 14, 16 и 18), а (f_i) — соответствующие частоты этих значений. Давайте обозначим неизвестную частоту значения 11 как (f_1).
Итак, у нас есть следующие данные:
- (x_1 = 11), (f_1 = ?)
- (x_2 = 14), (f_2 = 2)
- (x_3 = 16), (f_3 = 3)
- (x_4 = 18), (f_4 = 5)
Шаг 1: Запишем уравнения для сумм частот и суммы произведений значений на частоты.
Сначала найдем сумму известный частот:
[
\sum f_i = f_1 + f_2 + f_3 + f_4 = f_1 + 2 + 3 + 5 = f_1 + 10
]
Теперь вычислим сумму произведений значений на их частоты:
[
\sum (x_i \cdot f_i) = (11 \cdot f_1) + (14 \cdot 2) + (16 \cdot 3) + (18 \cdot 5)
]
Посчитаем часть с известными частотами:
[
14 \cdot 2 = 28,
]
[
16 \cdot 3 = 48,
]
[
18 \cdot 5 = 90.
]
Теперь сложим:
[
\sum (x_i \cdot f_i) = 11f_1 + 28 + 48 + 90 = 11f_1 + 166.
]
Шаг 2: Подставим информацию о средне арифметическом в уравнение.
Согласно условию задачи, среднее значение равно 13,8:
[
13,8 = \frac{11f_1 + 166}{f_1 + 10}.
]
Шаг 3: Умножим обе стороны уравнения на ((f_1 + 10)) для исключения дроби.
[
13,8(f_1 + 10) = 11f_1 + 166.
]
Шаг 4: Раскроем скобки и упростим уравнение.
[
13,8f_1 + 138 = 11f_1 + 166.
]
Теперь перенесем все элементы, содержащие (f_1), в одну сторону, а числовые значения — в другую:
[
13,8f_1 - 11f_1 = 166 - 138,
]
[
2,8f_1 = 28.
]
Шаг 5: Найдем (f_1).
Теперь разделим обе стороны на 2,8:
[
f_1 = \frac{28}{2,8} = 10.
]
Ответ
Таким образом, неизвестная частота для значения 11 равна 10.
