Sin 2 альфа, если sin альфа =5/13и 90°< альфа<180°

Чтобы найти \(\sin 2\alpha\), когда \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), мы будем использовать формулу для двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha. \] На данный момент мы знаем, что \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\). Теперь нам нужно найти \(\cos \alpha\). ### Шаг 1: Найдем \(\cos \alpha\) Мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \] Подставим значение \(\sin \alpha\): \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1. \] Проведем вычисления: \[ \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1. \] Теперь вычтем \(\frac{25}{169}\) из обеих сторон уравнения: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}. \] Чтобы вычесть, превратим 1 в дробь с знаменателем 169: \[ 1 = \frac{169}{169}. \] Теперь у нас: \[ \cos^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}. \] Теперь найдем \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}. \] Поскольку \(\alpha\) находится во втором квадранте (где косинус отрицателен), у нас: \[ \cos \alpha = -\frac{12}{13}. \] ### Шаг 2: Используем формулу для \(\sin 2\alpha\) Теперь, когда у нас есть \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\), мы можем найти \(\sin 2\alpha\): \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha. \] Подставим значения: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right). \] Проведем вычисления: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{5 \cdot (-12)}{13 \cdot 13} = 2 \cdot \frac{-60}{169} = \frac{-120}{169}. \] ### Ответ Таким образом, \(\sin 2\alpha\) равен: \[ \sin 2\alpha = -\frac{120}{169}. \]