sin 2 альфа, если sin альфа =5/13и 90°< альфа<180°

Чтобы найти \(\sin 2\alpha\), когда \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), мы будем использовать формулу для двойного угла:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha. \]

На данный момент мы знаем, что \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\). Теперь нам нужно найти \(\cos \alpha\).

Шаг 1: Найдем \(\cos \alpha\)

Мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \]

Подставим значение \(\sin \alpha\):

\[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1. \]

Проведем вычисления:

\[ \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1. \]

Теперь вычтем \(\frac{25}{169}\) из обеих сторон уравнения:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}. \]

Чтобы вычесть, превратим 1 в дробь с знаменателем 169:

\[ 1 = \frac{169}{169}. \]

Теперь у нас:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}. \]

Теперь найдем \(\cos \alpha\):

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}. \]

Поскольку \(\alpha\) находится во втором квадранте (где косинус отрицателен), у нас:

\[ \cos \alpha = -\frac{12}{13}. \]

Шаг 2: Используем формулу для \(\sin 2\alpha\)

Теперь, когда у нас есть \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\), мы можем найти \(\sin 2\alpha\):

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha. \]

Подставим значения:

\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right). \]

Проведем вычисления:

\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{5 \cdot (-12)}{13 \cdot 13} = 2 \cdot \frac{-60}{169} = \frac{-120}{169}. \]

Ответ

Таким образом, \(\sin 2\alpha\) равен:

\[ \sin 2\alpha = -\frac{120}{169}. \]