Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, нам необходимо знать площадь основания и площадь боковых граней.
Шаг 1: Площадь основания
Правильная треугольная призма имеет треугольник в качестве основания. У нас есть переданное значение для ребра основания. Поскольку это правильный треугольник, все его стороны равны и составляют ( a = 5\sqrt{3} ).
Формула для нахождения площади правильного треугольника:
[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
]
Подставим значение ( a ):
[
S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}
]
Шаг 2: Площадь боковых граней
У правильной треугольной призмы три боковых грани, и каждая из них является прямоугольником. Высота боковой грани равна боковому ребру призмы, которое составляет 3.
Площадь одной боковой грани:
[
S_{\text{бок}} = a \cdot h
]
где ( h ) — высота (боковое ребро), а ( a ) — основание. Подставим значения:
[
S_{\text{бок}} = (5\sqrt{3}) \cdot 3 = 15\sqrt{3}
]
Поскольку у нас три боковых грани:
[
S_{\text{бок. всего}} = 3 \cdot S_{\text{бок}} = 3 \cdot 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3}
]
Шаг 3: Площадь полной поверхности
Теперь складываем площади основания и боковых граней:
[
S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{основание}} + S_{\text{бок. всего}}
]
Подставляем найденные значения:
[
S_{\text{полная}} = 2 \cdot \frac{75\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3}
]
[
= \frac{150\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3}
]
Приведем оба слагаемых к общему знаменателю:
[
45\sqrt{3} = \frac{180\sqrt{3}}{4}
]
Теперь складываем:
[
S_{\text{полная}} = \frac{150\sqrt{3}}{4} + \frac{180\sqrt{3}}{4} = \frac{330\sqrt{3}}{4}
]
Теперь упростим:
[
S_{\text{полная}} = \frac{165\sqrt{3}}{2}
]
Ответ
Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы составляет ( \frac{165\sqrt{3}}{2} ).
Правильный ответ — 3) ( \frac{165\sqrt{3}}{2} ).
