Найди площадь полной поверхности правильной треугольной призмы с ребром основания 5√3 и боковым ребром 3. Варианты ответа: 1) 25√3/2; 2) 135√3/2; 3) 165√3/2

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, нам необходимо знать площадь основания и площадь боковых граней.

Шаг 1: Площадь основания

Правильная треугольная призма имеет треугольник в качестве основания. У нас есть переданное значение для ребра основания. Поскольку это правильный треугольник, все его стороны равны и составляют \( a = 5\sqrt{3} \).

Формула для нахождения площади правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

Подставим значение \( a \): \[ S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \]

Шаг 2: Площадь боковых граней

У правильной треугольной призмы три боковых грани, и каждая из них является прямоугольником. Высота боковой грани равна боковому ребру призмы, которое составляет 3.

Площадь одной боковой грани: \[ S_{\text{бок}} = a \cdot h \] где \( h \) — высота (боковое ребро), а \( a \) — основание. Подставим значения: \[ S_{\text{бок}} = (5\sqrt{3}) \cdot 3 = 15\sqrt{3} \]

Поскольку у нас три боковых грани: \[ S_{\text{бок. всего}} = 3 \cdot S_{\text{бок}} = 3 \cdot 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \]

Шаг 3: Площадь полной поверхности

Теперь складываем площади основания и боковых граней: \[ S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{основание}} + S_{\text{бок. всего}} \]

Подставляем найденные значения: \[ S_{\text{полная}} = 2 \cdot \frac{75\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3} \] \[ = \frac{150\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3} \] Приведем оба слагаемых к общему знаменателю: \[ 45\sqrt{3} = \frac{180\sqrt{3}}{4} \] Теперь складываем: \[ S_{\text{полная}} = \frac{150\sqrt{3}}{4} + \frac{180\sqrt{3}}{4} = \frac{330\sqrt{3}}{4} \]

Теперь упростим: \[ S_{\text{полная}} = \frac{165\sqrt{3}}{2} \]

Ответ

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы составляет \( \frac{165\sqrt{3}}{2} \).

Правильный ответ — 3) \( \frac{165\sqrt{3}}{2} \).