4sin^2 x + 4cos x - 1 = 0
Решим уравнение \( 4\sin^2 x + 4\cos x - 1 = 0 \) шаг за шагом.
Используем основное тригонометрическое тождество. Мы знаем, что: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Поэтому можно выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos x\): \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]
Подставим \(\sin^2 x\) в уравнение: \[ 4(1 - \cos^2 x) + 4\cos x - 1 = 0 \] Упростим это уравнение: \[ 4 - 4\cos^2 x + 4\cos x - 1 = 0 \] \[ -4\cos^2 x + 4\cos x + 3 = 0 \]
Умножим на -1 для упрощения: \[ 4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение в виде \( a\cos^2 x + b\cos x + c = 0 \) с помощью формулы для корней квадратного уравнения: \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где:
- \( a = 4 \)
- \( b = -4 \)
- \( c = -3 \)
Подставляем значения: \[ \cos x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \] \[ \cos x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} \] \[ \cos x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} \] \[ \cos x = \frac{4 \pm 8}{8} \]
Найдем два значения для \(\cos x\):
- Первое значение: \[ \cos x = \frac{12}{8} = 1.5 \quad (\text{не возможно, так как } |\cos x| \leq 1) \]
- Второе значение: \[ \cos x = \frac{-4}{8} = -0.5 \]
Теперь найдём угол \( x \), для которого \(\cos x = -0.5\). Углы, которые удовлетворяют этому условию, находятся в II и III квадрантах: \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, мы получили два решения: \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]
Это окончательные решения нашего уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме или другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
