Точка движется в плоскости ХОY. Вектор r ⃗, модуль которого равен 8 м, направлен под углом 45° к оси Y. Чему равны проекции вектора r ⃗ на оси Х и Y?
Для решения задачи о проекциях вектора на координатные оси, давайте сначала вспомним определения:
Вектор: Вектор в двумерном пространстве (плоскость XY) может быть описан своим модулем (длиной) и направлением. В данном случае модуль вектора \( \vec{r} \) равен 8 м, а угол с осью Y равен 45°.
Проекции вектора: Проекции вектора на оси координат X и Y можно найти, используя тригонометрические функции. Если вектор расположён под углом \( \theta \) к одной из осей, то его проекции могут быть найдены следующим образом:
- Проекция на ось X: \( r_x = r \cdot \cos(\theta) \)
- Проекция на ось Y: \( r_y = r \cdot \sin(\theta) \)
Теперь, подставим известные значения:
- Модуль вектора \( r = 8 \) м
- Угол \( \theta = 45° \)
Теперь выберем удобные значения для тригонометрических функций:
\[ \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь мы можем рассчитать проекции вектора:
- Проекция на ось X:
\[ r_x = r \cdot \cos(45°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{м} \]
- Проекция на ось Y:
\[ r_y = r \cdot \sin(45°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{м} \]
Таким образом, проекции вектора \( \vec{r} \) равны:
- Проекция на ось X: \( r_x = 4\sqrt{2} \, \text{м} \)
- Проекция на ось Y: \( r_y = 4\sqrt{2} \, \text{м} \)
Эти проекции одинаковы, так как вектор направлен под углом 45° к оси Y.
