3cot^2 ((3pi)/2 + x/3) - 2tan(x/3) = 1

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Вам нужно решить уравнение:

\[ 3 \cot^2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) - 2 \tan \left( \frac{x}{3} \right) = 1. \]

Шаг 1: Преобразование функции \( \cot \)

Мы знаем, что:

\[ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}. \]

Для угла \( \frac{3\pi}{2} + \theta \) существует формула, которая позволяет вычислить \( \tan \) и \( \cot \):

• \( \tan \left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = \tan(\theta) \) (так как тангенс периодичен с периодом \( \pi \)),
• \( \cot \left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = -\cot(\theta) \).

Таким образом, мы можем преобразовать уравнение:

1. Заменим \( \cot^2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) \):

   \[ \cot \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) = -\cot \left( \frac{x}{3} \right), \]

   Следовательно,

   \[ \cot^2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) = \cot^2 \left( \frac{x}{3} \right). \]

Подставляем это в уравнение:

\[ 3 \cot^2 \left( \frac{x}{3} \right) - 2 \tan \left( \frac{x}{3} \right) = 1. \]

Шаг 2: Введение переменной

Чтобы упростить выражения, введем новую переменную:

\[ y = \tan \left( \frac{x}{3} \right), \]

тогда:

\[ \cot^2 \left( \frac{x}{3} \right) = \frac{1}{y^2}. \]

Теперь подставим в уравнение:

\[ 3 \cdot \frac{1}{y^2} - 2y = 1. \]

Шаг 3: Умножение на \( y^2 \)

Умножим все уравнение на \( y^2 \) (где \( y \neq 0 \)) для избавления от дробей:

\[ 3 - 2y^3 = y^2. \]

Перепишем уравнение:

\[ 2y^3 + y^2 - 3 = 0. \]

Шаг 4: Решение кубического уравнения

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение:

\[ 2y^3 + y^2 - 3 = 0. \]

Можно использовать метод проб, чтобы найти корень. Проверим \( y = 1 \):

\[ 2(1)^3 + (1)^2 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0. \]

Следовательно, \( y = 1 \) — корень уравнения.

Шаг 5: Деление многочлена

Попробуем разделить \( 2y^3 + y^2 - 3 \) на \( (y - 1) \) методом синтетического деления или делением многочленов:

\[ 2y^3 + y^2 - 3 = (y - 1)(2y^2 + 3y + 3). \]

Теперь нужно решить квадратное уравнение:

\[ 2y^2 + 3y + 3 = 0. \]

Шаг 6: Вычисление дискриминанта

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15. \]

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 7: Итоговые решения

Итак, у нас есть единственный действительный корень \( y = 1 \):

\[ \tan \left( \frac{x}{3} \right) = 1. \]

Это означает:

\[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Отсюда:

\[ x = \frac{3\pi}{4} + 3k\pi. \]

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ x = \frac{3\pi}{4} + 3k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]