3cot^2 ((3pi)/2 + x/3) - 2tan(x/3) = 1

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Вам нужно решить уравнение: \[ 3 \cot^2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) - 2 \tan \left( \frac{x}{3} \right) = 1. \] ### Шаг 1: Преобразование функции \( \cot \) Мы знаем, что: \[ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}. \] Для угла \( \frac{3\pi}{2} + \theta \) существует формула, которая позволяет вычислить \( \tan \) и \( \cot \): - \( \tan \left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = \tan(\theta) \) (так как тангенс периодичен с периодом \( \pi \)), - \( \cot \left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = -\cot(\theta) \). Таким образом, мы можем преобразовать уравнение: 1. Заменим \( \cot^2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) \): \[ \cot \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) = -\cot \left( \frac{x}{3} \right), \] Следовательно, \[ \cot^2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3} \right) = \cot^2 \left( \frac{x}{3} \right). \] Подставляем это в уравнение: \[ 3 \cot^2 \left( \frac{x}{3} \right) - 2 \tan \left( \frac{x}{3} \right) = 1. \] ### Шаг 2: Введение переменной Чтобы упростить выражения, введем новую переменную: \[ y = \tan \left( \frac{x}{3} \right), \] тогда: \[ \cot^2 \left( \frac{x}{3} \right) = \frac{1}{y^2}. \] Теперь подставим в уравнение: \[ 3 \cdot \frac{1}{y^2} - 2y = 1. \] ### Шаг 3: Умножение на \( y^2 \) Умножим все уравнение на \( y^2 \) (где \( y \neq 0 \)) для избавления от дробей: \[ 3 - 2y^3 = y^2. \] Перепишем уравнение: \[ 2y^3 + y^2 - 3 = 0. \] ### Шаг 4: Решение кубического уравнения Теперь нам нужно решить кубическое уравнение: \[ 2y^3 + y^2 - 3 = 0. \] Можно использовать метод проб, чтобы найти корень. Проверим \( y = 1 \): \[ 2(1)^3 + (1)^2 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0. \] Следовательно, \( y = 1 \) — корень уравнения. ### Шаг 5: Деление многочлена Попробуем разделить \( 2y^3 + y^2 - 3 \) на \( (y - 1) \) методом синтетического деления или делением многочленов: \[ 2y^3 + y^2 - 3 = (y - 1)(2y^2 + 3y + 3). \] Теперь нужно решить квадратное уравнение: \[ 2y^2 + 3y + 3 = 0. \] ### Шаг 6: Вычисление дискриминанта Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15. \] Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. ### Шаг 7: Итоговые решения Итак, у нас есть единственный действительный корень \( y = 1 \): \[ \tan \left( \frac{x}{3} \right) = 1. \] Это означает: \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Отсюда: \[ x = \frac{3\pi}{4} + 3k\pi. \] Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{3\pi}{4} + 3k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]