Найди значение функции f ( x ) = 4 x 3 − 48 x + 34 f(x)=4x 3 −48x+34 в точке минимума.
Чтобы найти значение функции \( f(x) = 4x^3 - 48x + 34 \) в точке минимума, давайте пройдемся по следующим шагам:
Шаг 1: Найти производную функции
Для того чтобы определить точки минимума и максимума, мы сначала найдем первую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 48x + 34) \]
Применяя правило дифференцирования, получаем:
\[ f'(x) = 12x^2 - 48 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
\[ 12x^2 - 48 = 0 \]
Решим уравнение:
\[ 12x^2 = 48 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]
Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
Шаг 3: Определить, где находится минимум
Чтобы узнать, в какой из критических точек находится минимум, воспользуемся второй производной. Найдем её:
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 - 48) = 24x \]
Теперь подставим критические точки в производную второго порядка:
Для \( x = 2 \): \[ f''(2) = 24 \cdot 2 = 48 > 0 \] Это говорит о том, что \( x = 2 \) — это точка минимума.
Для \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 24 \cdot (-2) = -48 < 0 \] Это говорит о том, что \( x = -2 \) — это точка максимума.
Шаг 4: Найти значение функции в точке минимума
Теперь подставим \( x = 2 \) в исходную функцию \( f(x) \):
\[ f(2) = 4(2^3) - 48(2) + 34 \] \[ = 4(8) - 96 + 34 \] \[ = 32 - 96 + 34 \] \[ = 32 - 96 + 34 = -64 + 34 = -30 \]
Ответ
Значение функции \( f(x) \) в точке минимума (при \( x = 2 \)) равно \( -30 \).
