Чтобы найти значение функции ( f(x) = 4x^3 - 48x + 34 ) в точке минимума, давайте пройдемся по следующим шагам:
Шаг 1: Найти производную функции
Для того чтобы определить точки минимума и максимума, мы сначала найдем первую производную функции ( f(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 48x + 34)
]
Применяя правило дифференцирования, получаем:
[
f'(x) = 12x^2 - 48
]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
[
12x^2 - 48 = 0
]
Решим уравнение:
[
12x^2 = 48
]
[
x^2 = 4
]
[
x = \pm 2
]
Таким образом, у нас есть две критические точки: ( x = 2 ) и ( x = -2 ).
Шаг 3: Определить, где находится минимум
Чтобы узнать, в какой из критических точек находится минимум, воспользуемся второй производной. Найдем её:
[
f''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 - 48) = 24x
]
Теперь подставим критические точки в производную второго порядка:
Для ( x = 2 ):
[
f''(2) = 24 \cdot 2 = 48 > 0
]
Это говорит о том, что ( x = 2 ) — это точка минимума.
Для ( x = -2 ):
[
f''(-2) = 24 \cdot (-2) = -48 < 0
]
Это говорит о том, что ( x = -2 ) — это точка максимума.
Шаг 4: Найти значение функции в точке минимума
Теперь подставим ( x = 2 ) в исходную функцию ( f(x) ):
[
f(2) = 4(2^3) - 48(2) + 34
]
[
= 4(8) - 96 + 34
]
[
= 32 - 96 + 34
]
[
= 32 - 96 + 34 = -64 + 34 = -30
]
Ответ
Значение функции ( f(x) ) в точке минимума (при ( x = 2 )) равно ( -30 ).
