17. Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 297 . Найди…

Для решения задачи начнем с обозначения трёхзначного числа. Пусть трёхзначное число представляется в виде \(ABC\), где \(A\), \(B\), и \(C\) — цифры этого числа, \(A\) — сотни, \(B\) — десятки, \(C\) — единицы. Поскольку это трёхзначное число, \(A\) может принимать значения от 1 до 9, а \(B\) и \(C\) — от 0 до 9, при этом \(C\) не может быть равен 0.

Запишем число в стандартной десятичной форме: \[ n = 100A + 10B + C \] Число, записанное в обратном порядке, будет: \[ m = 100C + 10B + A \]

По условию задачи мы имеем: \[ n - m = 297 \]

Подставим выражения для \(n\) и \(m\): \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 297 \] Упростим это уравнение: \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 297 \] \[ 99A - 99C = 297 \] \[ 99(A - C) = 297 \]

Теперь разделим обе стороны уравнения на 99: \[ A - C = 3 \]

Теперь мы знаем, что первая цифра (\(A\)) больше последней цифры (\(C\)) на 3. Теперь запишем возможные значения для \(A\) и \(C\):

1. Если \(C = 1\), тогда \(A = 4\) (число: 41X)
2. Если \(C = 2\), тогда \(A = 5\) (число: 52X)
3. Если \(C = 3\), тогда \(A = 6\) (число: 63X)
4. Если \(C = 4\), тогда \(A = 7\) (число: 74X)
5. Если \(C = 5\), тогда \(A = 8\) (число: 85X)
6. Если \(C = 6\), тогда \(A = 9\) (число: 96X)

Теперь нам нужно найти соответствующие числа, которые будут больше 900 и соответствовать форме \(9X6\), где \(A = 9\) и \(C = 6\).

Теперь подбираем все возможные значения для \(B\) (возможно от 0 до 9):

• Для \(A = 9\) и \(C = 6\), полное число примет вид \(9B6\).

Подходящие трёхзначные числа:

• \(906\)
• \(916\)
• \(926\)
• \(936\)
• \(946\)
• \(956\)
• \(966\)
• \(976\)
• \(986\)
• \(996\)

Все числа, которые соответствуют условию и больше 900, в порядке возрастания, будут: \[ 906;916;926;936;946;956;966;976;986;996 \]

Ответ: \[ 906;916;926;936;946;956;966;976;986;996 \]