f(x)=sin2x

Задача: Исследовать функцию \( f(x) = \sin(2x) \).

Шаг 1: Определение функции

Функция \( f(x) = \sin(2x) \) является тригонометрической функцией, где аргумент функции — это \( 2x \). Это означает, что мы будем исследовать синус с увеличенной частотой.

Шаг 2: Определение области определения

Область определения функции \( f(x) \) — это все действительные числа, так как синус определен для всех значений, т.е.: \[ x \in (-\infty, +\infty) \]

Шаг 3: Периодичность функции

Функция \( \sin(x) \) имеет период \( 2\pi \). Когда мы рассматриваем \( \sin(2x) \), период функции уменьшается в 2 раза. Период функции \( f(x) \) можно найти по формуле: \[ T = \frac{2\pi}{k} \] где \( k \) — коэффициент при \( x \) в аргументе синуса. В нашем случае \( k = 2 \), значит: \[ T = \frac{2\pi}{2} = \pi \]

Шаг 4: Максимумы и минимумы

Синус принимает значение 1 в точках, где \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) (где \( k \) — целое число). Отсюда находим: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Синус принимает значение -1 в точках, где \( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \): \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \]

Таким образом, максимумы функции \( f(x) \) равны 1, а минимумы — -1.

Шаг 5: Нули функции

Нули функции определяются приравниванием \( f(x) \) к нулю: \[ \sin(2x) = 0 \] Это происходит при: \[ 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \; k \in \mathbb{Z} \] Это значит, что функция обнуляется в точках: \[ x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \ldots \]

Шаг 6: График функции

График функции будет представлять собой волну, колеблющуюся между 1 и -1 с периодом \( \pi \). Он будет выглядеть как:

• Восходящие и нисходящие участки, проходящие через нули функции,
• Максимумы и минимумы, достигающиеся через каждые \( \frac{\pi}{2} \).

Итог

Таким образом, функция \( f(x) = \sin(2x) \) является периодической с периодом \( \pi \), колеблющейся между значениями 1 и -1, и имеет нули в точках \( x = \frac{k\pi}{2} \).