Из 100 человек, учащихся в школе, английский язык изучают 30 человек, французский — 28, немецкий — 42. Французский и английский изучают 8 человек, французский и немецкий — 10,…
Из 100 человек, учащихся в школе, английский язык изучают 30 человек, французский — 28, немецкий — 42. Французский и английский изучают 8 человек, французский и немецкий — 10, английский и немецкий — 5, а все три языка изучают 3 человека. С помощью диаграмм Эйлера — Венна (кругов Эйлера) определите, сколько человек не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий.
Для решения задачи воспользуемся диаграммой Эйлера — Венна, которая помогает визуализировать пересечения множеств. Мы будем следовать пошагово:
Шаг 1: Обозначим множества
- Пусть \( A \) — множество людей, изучающих английский язык.
- Пусть \( B \) — множество людей, изучающих французский язык.
- Пусть \( C \) — множество людей, изучающих немецкий язык.
Из условия задачи мы имеем следующие значения:
- \( |A| = 30 \) (изучают английский)
- \( |B| = 28 \) (изучают французский)
- \( |C| = 42 \) (изучают немецкий)
- \( |A \cap B| = 8 \) (изучают английский и французский)
- \( |B \cap C| = 10 \) (изучают французский и немецкий)
- \( |A \cap C| = 5 \) (изучают английский и немецкий)
- \( |A \cap B \cap C| = 3 \) (изучают все три языка)
Шаг 2: Найдем количество людей, которые изучают только один язык
Для этого используем формулы для нахождения количества учеников, изучающих только один язык:
Только английский:
\[ |A \text{ только}| = |A| - (|A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 30 - (8 + 5 - 3) = 30 - 10 = 20 \]Только французский:
\[ |B \text{ только}| = |B| - (|A \cap B| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 28 - (8 + 10 - 3) = 28 - 15 = 13 \]Только немецкий:
\[ |C \text{ только}| = |C| - (|A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 42 - (5 + 10 - 3) = 42 - 12 = 30 \]
Шаг 3: Найдем общее число людей, изучающих хотя бы один из языков
Теперь сложим все категории:
\[ \text{Всего изучающих языки} = |A \text{ только}| + |B \text{ только}| + |C \text{ только}| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2|A \cap B \cap C| \]
Подставим числа:
\[ = 20 + 13 + 30 + 8 + 5 + 10 - 2 \times 3 \] \[ = 20 + 13 + 30 + 8 + 5 + 10 - 6 = 80 \]
Шаг 4: Определим, сколько человек не изучают ни один язык
Всего человек в школе 100, значит, те, кто не изучает ни один язык:
\[ \text{Количество не изучающих языки} = 100 - \text{Всего изучающих языки} \] \[ = 100 - 80 = 20 \]
Ответ
Итак, число людей, не изучающих ни английский, ни французский, ни немецкий язык, составляет 20 человек.
