Для решения задачи воспользуемся диаграммой Эйлера — Венна, которая помогает визуализировать пересечения множеств. Мы будем следовать пошагово:
Шаг 1: Обозначим множества
- Пусть ( A ) — множество людей, изучающих английский язык.
- Пусть ( B ) — множество людей, изучающих французский язык.
- Пусть ( C ) — множество людей, изучающих немецкий язык.
Из условия задачи мы имеем следующие значения:
- ( |A| = 30 ) (изучают английский)
- ( |B| = 28 ) (изучают французский)
- ( |C| = 42 ) (изучают немецкий)
- ( |A \cap B| = 8 ) (изучают английский и французский)
- ( |B \cap C| = 10 ) (изучают французский и немецкий)
- ( |A \cap C| = 5 ) (изучают английский и немецкий)
- ( |A \cap B \cap C| = 3 ) (изучают все три языка)
Шаг 2: Найдем количество людей, которые изучают только один язык
Для этого используем формулы для нахождения количества учеников, изучающих только один язык:
Только английский:
[
|A \text{ только}| = |A| - (|A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 30 - (8 + 5 - 3) = 30 - 10 = 20
]
Только французский:
[
|B \text{ только}| = |B| - (|A \cap B| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 28 - (8 + 10 - 3) = 28 - 15 = 13
]
Только немецкий:
[
|C \text{ только}| = |C| - (|A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 42 - (5 + 10 - 3) = 42 - 12 = 30
]
Шаг 3: Найдем общее число людей, изучающих хотя бы один из языков
Теперь сложим все категории:
[
\text{Всего изучающих языки} = |A \text{ только}| + |B \text{ только}| + |C \text{ только}| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2|A \cap B \cap C|
]
Подставим числа:
[
= 20 + 13 + 30 + 8 + 5 + 10 - 2 \times 3
]
[
= 20 + 13 + 30 + 8 + 5 + 10 - 6 = 80
]
Шаг 4: Определим, сколько человек не изучают ни один язык
Всего человек в школе 100, значит, те, кто не изучает ни один язык:
[
\text{Количество не изучающих языки} = 100 - \text{Всего изучающих языки}
]
[
= 100 - 80 = 20
]
Ответ
Итак, число людей, не изучающих ни английский, ни французский, ни немецкий язык, составляет 20 человек.
