Давайте разберем каждый случай по отдельности и найдем общие формулы для всех углов ( z ), которые удовлетворяют указанным равенствам с тригонометрическими функциями.
1) ( \sin z = 1 )
Синус равен 1 в точках, соответствующих углу ( \frac{\pi}{2} ) (90 градусов) и его периодическому повторению. Период синуса равен ( 2\pi ).
Формула:
[
z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
2) ( \sin z = 0 )
Синус равен 0 в точках, где угол соответствует целым кратным ( \pi ) (180 градусов).
Формула:
[
z = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
3) ( \sin z = -1 )
Синус равен -1 в точках, соответствующих углу ( \frac{3\pi}{2} ) (270 градусов) и его периодическому повторению.
Формула:
[
z = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
4) ( \cos z = 1 )
Косинус равен 1 в точках, соответствующих углу ( 0 ) и его периодическому повторению.
Формула:
[
z = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
5) ( \cos z = 0 )
Косинус равен 0 в точках, где угол соответствует ( \frac{\pi}{2} ) (90 градусов) и ( \frac{3\pi}{2} ) (270 градусов), а также их периодическому повторению.
Формула:
[
z = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
6) ( \cos z = -1 )
Косинус равен -1 в точках, соответствующих углу ( \pi ) (180 градусов) и его периодическому повторению.
Формула:
[
z = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Итоговые формулы:
- Для ( \sin z = 1 ): ( z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi )
- Для ( \sin z = 0 ): ( z = k\pi )
- Для ( \sin z = -1 ): ( z = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi )
- Для ( \cos z = 1 ): ( z = 2k\pi )
- Для ( \cos z = 0 ): ( z = \frac{\pi}{2} + k\pi )
- Для ( \cos z = -1 ): ( z = \pi + 2k\pi )
Каждая формула показывает, как, зная начальный угол, можно получить все остальные углы, удовлетворяющие данным равенствам, просто увеличивая или уменьшая ( k ).
