Сколько различных целых чисел удовлетворяет неравенству: x 2 − 8 x − 24 < 0 x 2 −8x−24<0 ? Запиши в поле ответа верное число.
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 8x - 24 < 0 \), давайте сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 8x - 24 = 0 \).
Найдем дискриминант.
Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -24 \).
Подставим значения: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 \]Найдем корни уравнения.
Корни можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{160}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 - \sqrt{160}}{2} \]Упростим \(\sqrt{160}\): \[\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}\]
Теперь подставим это обратно: \[ x_1 = \frac{8 + 4\sqrt{10}}{2} = 4 + 2\sqrt{10} \] \[ x_2 = \frac{8 - 4\sqrt{10}}{2} = 4 - 2\sqrt{10} \]
Определим интервалы.
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 4 + 2\sqrt{10} \) и \( x_2 = 4 - 2\sqrt{10} \). У нас есть три интервала для проверки знака неравенства:- \( (-\infty, x_2) \)
- \( (x_2, x_1) \)
- \( (x_1, +\infty) \)
Проверим знаки на интервалах.
Для этого подберем точки из каждого интервала:Для интервала \( (-\infty, x_2) \) подберем \( x = 0 \): \[ 0^2 - 8 \cdot 0 - 24 = -24 < 0 \quad (\text{знак отрицательный}) \]
Для интервала \( (x_2, x_1) \) подберем \( x = 4 \): \[ 4^2 - 8 \cdot 4 - 24 = 16 - 32 - 24 = -40 < 0 \quad (\text{знак отрицательный}) \]
Для интервала \( (x_1, +\infty) \) подберем \( x = 10 \): \[ 10^2 - 8 \cdot 10 - 24 = 100 - 80 - 24 = -4 < 0 \quad (\text{знак положительный}) \]
Результат.
Таким образом, неравенство \( x^2 - 8x - 24 < 0 \) выполняется на интервалах:- \( (-\infty, x_2) \) и \( (x_2, x_1) \).
Теперь нам нужно найти количество целых чисел, которые находятся в интервале \( (4 - 2\sqrt{10}, 4 + 2\sqrt{10}) \).
Приблизительно вычисляем \(\sqrt{10} \approx 3.16\):
\[ 4 - 2 \cdot 3.16 \approx 4 - 6.32 \approx -2.32 \] \[ 4 + 2 \cdot 3.16 \approx 4 + 6.32 \approx 10.32 \]
Таким образом, интересующий нас интервал — это примерно \( (-2.32, 10.32) \).
Целые числа в этом интервале:
Это все числа от \( -2 \) до \( 10 \):
- \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \).
Всего таких чисел: \( 10 - (-2) + 1 = 13 \).
Ответ: 13.
