Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 4 см и 12 см. Чему равен меньший катет треугольника?
Решим задачу о прямом угольном треугольнике с помощью всех данных:
Дано:
- Вершина прямого угла: \(A\)
- Гипотенуза: \(BC\)
- Высота, проведенная из вершины \(A\) делит гипотенузу \(BC\) на отрезки \(BM = 4\) см и \(MC = 12\) см, где \(M\) — точка на гипотенузе.
Находим длину гипотенузы: Длина гипотенузы \(BC\) равна сумме отрезков: \[ BC = BM + MC = 4\, \text{см} + 12\, \text{см} = 16\, \text{см}. \]
Используем свойство высоты: Высота, проведенная из прямого угла, имеет свойство: она делит гипотенузу на отрезки так, что произведение отрезков, на которые она делит гипотензу, равно произведению катетов. То есть: \[ AM^2 = BM \cdot MC. \]
Подставим известные значения: Мы знаем, что \(BM = 4\) см и \(MC = 12\) см. Подставим их в формулу: \[ AM^2 = 4 \cdot 12 = 48. \]
Найдем высоту \(AM\): Теперь найдём \(AM\): \[ AM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\, \text{см}. \]
Обозначим катеты: Обозначим меньший катет \(a\) (это тот, который нам нужно найти), а больший катет \(b\). У нас есть связь между катетами и высотой: \[ AM^2 = a \cdot b. \] Подставляем значение высоты: \[ 48 = a \cdot b. \]
Так как мы хотим найти меньший катет, заметим, что \[ c = a + b \text{ и } c = 16 \text{ см (гипотенуза)}. \] Следовательно, можем выразить \(b\) через \(a\): \[ b = 16 - a. \]
Подставим \(b\) в уравнение: \[ 48 = a \cdot (16 - a). \]
Раскроем скобки: \[ 48 = 16a - a^2. \] Переместим всё в одно уравнение: \[ a^2 - 16a + 48 = 0. \]
Решим квадратное уравнение: Используем формулу квадратного уравнения \(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2}. \] \[ a = \frac{16 \pm 8}{2}. \]
Это даёт два возможных значения для \(a\): \[ a_1 = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}, \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}. \]
Определяем меньший катет: Таким образом, меньший катет \(a\) равен \(4\) см, а больший катет \(b\) равен \(12\) см.
Ответ: Меньший катет треугольника равен \(4\) см.
