Давайте решим задачу, используя систему уравнений. Мы обозначим:
- ( x ) — время, за которое первая бригада окрашивает дом (в часах).
- ( y ) — время, за которое вторая бригада окрашивает дом (в часах).
Согласно условиям задачи, мы можем записать следующие уравнения:
Время, которое требуется второй бригаде, на 21 час больше времени первой бригады:
[
y = x + 21
]
Время, на которое требуется первой бригаде, на 7 часов больше, чем время, необходимое обеим бригадам вместе:
Если обе бригады работают вместе, то общее время работы будет меньше, так как они работают совместно. Используем формулу работы бригад:
[
\text{Работа} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}
]
Обозначим время, за которое обе бригады выполнят работу вместе, как ( z ):
[
z = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{xy}{x + y}
]
По условию задачи, мы знаем, что:
[
x = z + 7
]
Теперь мы подставим ( z ) в уравнение:
[
x = \frac{xy}{x + y} + 7
]
Теперь подставим ( y = x + 21 ) в уравнение:
[
x = \frac{x(x + 21)}{x + (x + 21)} + 7
]
Упростим:
[
x = \frac{x^2 + 21x}{2x + 21} + 7
]
Умножим обе стороны на ( 2x + 21 ) для устранения дроби:
[
x(2x + 21) = x^2 + 21x + 7(2x + 21)
]
[
2x^2 + 21x = x^2 + 21x + 14x + 147
]
[
2x^2 + 21x = x^2 + 35x + 147
]
Переносим все в одну сторону:
[
2x^2 + 21x - x^2 - 35x - 147 = 0
]
[
x^2 - 14x - 147 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 - 14x - 147 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-147) = 196 + 588 = 784
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 28}{2}
]
Это даст нам два возможных значения:
- ( x = \frac{42}{2} = 21 )
- ( x = \frac{-14}{2} = -7 ) (не принимаем, так как время не может быть отрицательным)
Таким образом, первая бригада может перекрасить дом за 21 час.
