Давайте по шагам решим каждую из задач.
Задача 1: Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (аₙ), если a₁ = -25 и d = 4.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где:
- ( a_n ) — n-ый член прогрессии,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии,
- ( n ) — номер члена прогрессии.
Подставим известные значения в формулу:
- ( a_1 = -25 )
- ( d = 4 )
- ( n = 30 )
Подставляем в формулу:
[
a_{30} = -25 + (30 - 1) \cdot 4
]
Сначала вычислим ( (30 - 1) \cdot 4 ):
[
29 \cdot 4 = 116
]
Теперь подставим в формулу:
[
a_{30} = -25 + 116 = 91
]
Ответ: Тридцатый член арифметической прогрессии равен 91.
Задача 2: Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии: 2; 5; 8;…
Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии используется следующая формула:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Сначала найдем ( a_1 ) и ( a_{15} ):
- Первый член ( a_1 = 2 )
- Разность ( d = 5 - 2 = 3 )
Теперь найдем 15-й член прогрессии:
[
a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d = 2 + 14 \cdot 3
]
Вычислим ( 14 \cdot 3 ):
[
14 \cdot 3 = 42
]
Теперь подставим:
[
a_{15} = 2 + 42 = 44
]
Теперь можем найти сумму:
[
S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2 + 44) = \frac{15}{2} \cdot 46
]
Вычислим:
[
S_{15} = 15 \cdot 23 = 345
]
Ответ: Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна 345.
Задача 3: Найдите сумму двадцати первых членов последовательности (bₙ), заданной формулой bₙ = 2n + 1.
Сначала найдем 20-й член последовательности:
[
b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 40 + 1 = 41
]
Теперь найдем сумму первых n членов, используя следующее:
[
S_n = \sum_{n=1}^{N} (2n + 1)
]
Разделим сумму на два отдельных ряда:
[
S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2n + \sum_{n=1}^{20} 1
]
Первую часть можем посчитать так:
[
\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210
]
Следовательно,
[
\sum_{n=1}^{20} 2n = 2 \cdot 210 = 420
]
Вторая часть:
[
\sum_{n=1}^{20} 1 = 20
]
Складываем обе части:
[
S_{20} = 420 + 20 = 440
]
Ответ: Сумма первых двадцати членов последовательности равна 440.
Задача 4: Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (аₙ), в которой a₁ = 30 и a₇ = 21?
Сначала найдем разность:
[
a_7 = a_1 + (7 - 1) \cdot d \implies 21 = 30 + 6d
]
Решим уравнение для d:
[
21 - 30 = 6d \implies -9 = 6d \implies d = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}
]
Теперь найдем n, такое что ( a_n = -6 ):
[
a_n = a_1 + (n - 1)d
]
Подставим:
[
-6 = 30 + (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)
]
Упростим уравнение:
[
-6 - 30 = (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \implies -36 = -\frac{3}{2}(n - 1)
]
Умножим обе стороны на -2/3:
[
24 = n - 1 \implies n = 25
]
Число -6 является 25-м членом прогрессии.
Ответ: Да, число -6 является членом данной арифметической прогрессии.
Задача 5: Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.
Натуральные числа, кратные 7, не превосходящие 150, формируют прогрессию: 7, 14, 21, ..., 147.
Сначала найдем, сколько таких членов в прогрессии:
Последний член прогрессии ( a_n = 147 = 7n \implies n = \frac{147}{7} = 21 ).
Теперь можем найти сумму:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{21}{2} \cdot (7 + 147)
]
Упростим вычисления:
[
S_{21} = \frac{21}{2} \cdot 154 = 21 \cdot 77 = 1617
]
Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150, равна 1617.
Все решения подробно описаны, если есть еще что-то, с чем вы хотите разобраться, дайте знать!
