Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (аn),, если а1= -25 и d=4. 2. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии: 2; 5; 8;… Найдите сумму двадцати…

Давайте по шагам решим каждую из задач.

Задача 1: Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (аₙ), если a₁ = -25 и d = 4.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

где:

• \( a_n \) — n-ый член прогрессии,
• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( d \) — разность прогрессии,
• \( n \) — номер члена прогрессии.

Подставим известные значения в формулу:

• \( a_1 = -25 \)
• \( d = 4 \)
• \( n = 30 \)

Подставляем в формулу:

\[ a_{30} = -25 + (30 - 1) \cdot 4 \]

Сначала вычислим \( (30 - 1) \cdot 4 \):

\[ 29 \cdot 4 = 116 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ a_{30} = -25 + 116 = 91 \]

Ответ: Тридцатый член арифметической прогрессии равен 91.

---

Задача 2: Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии: 2; 5; 8;…

Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии используется следующая формула:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Сначала найдем \( a_1 \) и \( a_{15} \):

• Первый член \( a_1 = 2 \)
• Разность \( d = 5 - 2 = 3 \)

Теперь найдем 15-й член прогрессии:

\[ a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d = 2 + 14 \cdot 3 \]

Вычислим \( 14 \cdot 3 \):

\[ 14 \cdot 3 = 42 \]

Теперь подставим:

\[ a_{15} = 2 + 42 = 44 \]

Теперь можем найти сумму:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2 + 44) = \frac{15}{2} \cdot 46 \]

Вычислим:

\[ S_{15} = 15 \cdot 23 = 345 \]

Ответ: Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна 345.

---

Задача 3: Найдите сумму двадцати первых членов последовательности (bₙ), заданной формулой bₙ = 2n + 1.

Сначала найдем 20-й член последовательности:

\[ b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 40 + 1 = 41 \]

Теперь найдем сумму первых n членов, используя следующее:

\[ S_n = \sum_{n=1}^{N} (2n + 1) \]

Разделим сумму на два отдельных ряда:

\[ S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2n + \sum_{n=1}^{20} 1 \]

Первую часть можем посчитать так:

\[ \sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \] Следовательно, \[ \sum_{n=1}^{20} 2n = 2 \cdot 210 = 420 \]

Вторая часть:

\[ \sum_{n=1}^{20} 1 = 20 \]

Складываем обе части:

\[ S_{20} = 420 + 20 = 440 \]

Ответ: Сумма первых двадцати членов последовательности равна 440.

---

Задача 4: Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (аₙ), в которой a₁ = 30 и a₇ = 21?

Сначала найдем разность:

\[ a_7 = a_1 + (7 - 1) \cdot d \implies 21 = 30 + 6d \]

Решим уравнение для d:

\[ 21 - 30 = 6d \implies -9 = 6d \implies d = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} \]

Теперь найдем n, такое что \( a_n = -6 \):

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

Подставим:

\[ -6 = 30 + (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \]

Упростим уравнение:

\[ -6 - 30 = (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \implies -36 = -\frac{3}{2}(n - 1) \]

Умножим обе стороны на -2/3:

\[ 24 = n - 1 \implies n = 25 \]

Число -6 является 25-м членом прогрессии.

Ответ: Да, число -6 является членом данной арифметической прогрессии.

---

Задача 5: Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

Натуральные числа, кратные 7, не превосходящие 150, формируют прогрессию: 7, 14, 21, ..., 147.

Сначала найдем, сколько таких членов в прогрессии:

Последний член прогрессии \( a_n = 147 = 7n \implies n = \frac{147}{7} = 21 \).

Теперь можем найти сумму:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{21}{2} \cdot (7 + 147) \]

Упростим вычисления:

\[ S_{21} = \frac{21}{2} \cdot 154 = 21 \cdot 77 = 1617 \]

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150, равна 1617.

Все решения подробно описаны, если есть еще что-то, с чем вы хотите разобраться, дайте знать!