Чтобы решить задачу, рассмотрим систему из двух линз: рассеивающей (первой) и собирающей (второй). Нам нужно найти расстояние (d), на котором нужно разместить источник света, чтобы после прохождения через обе линзы лучи светились параллельно.
Дано:
- Фокусное расстояние первой линзы (рассеивающая) (f_1 = -29) см (знак минус, так как это рассеивающая линза).
- Фокусное расстояние второй линзы (собирающая) (f_2 = 25) см.
- Расстояние между линзами (L = 18) см.
Обозначения:
- (d) — расстояние от источника света до первой линзы.
- (h_1) — изображение, образованное первой линзой.
- (h_2) — изображение, образованное второй линзой.
Шаг 1: Найдем изображение, созданное первой линзой
Используем формулу линзы:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
]
где:
- (d_o = d) — расстояние от источника света до линзы,
- (d_i) — расстояние от линзы до создаваемого изображения,
- (f) — фокусное расстояние линзы.
Подставляем значения для первой линзы:
[
\frac{1}{-29} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d_i}
]
Перепишем уравнение для нахождения (d_i):
[
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{-29} - \frac{1}{d}
]
[
d_i = \frac{d \cdot (-29)}{d - 29}
]
Шаг 2: Позиция изображения для второй линзы
Изображение, созданное первой линзой, является объектом для второй линзы. Расстояние от первой линзы до второй линзы равно (18) см. Таким образом:
[
d_{o2} = L - d_i = 18 - d_i
]
Подставляем значение (d_i):
[
d_{o2} = 18 - \frac{d \cdot (-29)}{d - 29}
]
Шаг 3: Применим формулу для второй линзы
Теперь используем формулу для второй линзы:
[
\frac{1}{25} = \frac{1}{d_{o2}} + \frac{1}{d_{i2}}
]
где (d_{i2}) — это расстояние от второй линзы до создаваемого изображения, для параллельного пучка (d_{i2}) будет стремиться к бесконечности:
[
d_{i2} \to \infty \Rightarrow \frac{1}{d_{i2}} \to 0
]
Следовательно, упрощаем:
[
\frac{1}{25} = \frac{1}{d_{o2}}
]
[
d_{o2} = 25\ \text{см}
]
Шаг 4: Уравнивание выражений
Теперь должны сравнить (d_{o2}):
[
18 - \frac{d \cdot (-29)}{d - 29} = 25
]
Решим уравнение:
[
18 + \frac{29d}{d - 29} = 25
]
[
\frac{29d}{d - 29} = 25 - 18
]
[
\frac{29d}{d - 29} = 7
]
Умножим обе стороны на (d - 29) (при (d \neq 29)):
[
29d = 7(d - 29)
]
[
29d = 7d - 203
]
[
29d - 7d = -203
]
[
22d = -203
]
[
d = -\frac{203}{22} \approx -9.23\ \text{см}
]
Шаг 5: Заключение
Таким образом, это отрицательное значение указывает на то, что фактически нам нужно разместить источник на (9.23) см перед первой линзой с учетом ее фокусировки. Так как мы рассматриваем систему линз, для достижения параллельного пучка, источник света должен располагаться в определенном положении.
Ответ: расстояние (d \approx 9.23) см перед первой линзой.
