Ответы

Чтобы помочь вам понять задачу, давайте решим каждое упражнение шаг за шагом. ### Упражнение 96 Нужно доказать, что произведение первых двух чисел равно произведению последних двух чисел: \( ab = cd \). 1. **Последовательность чисел:** \( a, b, c, d \). 2. Условие: \( a + b + c + d = 4(a - b + c - d) \). Раскроем скобки: \[ a + b + c + d = 4a - 4b + 4c - 4d \] Перенесем все на одну сторону: \[ a + b + c + d - 4a + 4b - 4c + 4d = 0 \] Упрощение: \[ -3a + 5b - 3c + 5d = 0 \] Теперь нужно преобразовать это в \( ab = cd \). Для этого подхода не видно без дополнительных алгебраических манипуляций или других данных, так что ошибка в указанной задаче возможна либо требуется дать больше данных. ### Упражнение 98 Нужно найти корень уравнения: 1. **Уравнение:** \((2x + 1)(x + 6) = 3\). Раскроем скобки: \[ 2x(x + 6) + 1(x + 6) = 3 \] \[ 2x^2 + 12x + x + 6 = 3 \] Соберем подобные: \[ 2x^2 + 13x + 6 = 3 \] Перенесем 3 в левую сторону: \[ 2x^2 + 13x + 3 = 0 \] Решение квадратного уравнения возможно с помощью дискриминанта: Дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \times 2 \times 3 = 169 - 24 = 145 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{145}}{4} \] Два корня: \[ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{145}}{4}, \quad x_2 = \frac{-13 - \sqrt{145}}{4} \] ### Упражнение 99 Доказать, что: \[ \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \] Проверим правую часть: \[ \text{Правая часть: } = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n+2 - n}{n(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)}\] \[ = \frac{1}{n(n+2)} \] Так что это доказательство верно. ### Упражнение 100 Нужно найти три последовательных натуральных числа, чтобы квадрат меньшего из них был меньше суммы квадратов остальных двух. Обозначим числа как \( n - 1, n, n + 1 \). 1. **Неравенство:** \((n-1)^2 < n^2 + (n+1)^2\) Раскроем скобки: \[ n^2 - 2n + 1 < n^2 + n^2 + 2n + 1 \] Упрощение: \[ n^2 - 2n + 1 < 2n^2 + 2n + 1 \] Переносим всё на одну сторону: \[ 0 < n^2 + 4n \] Отсюда видно, что \( n > 0 \), то есть \( n \) может быть любым натуральным числом. В качестве примера: Возьмем \( n = 1, 2, 3 \): - \( n - 1 = 1 \) - \( n = 2 \) - \( n + 1 = 3 \) Проверяем для \( n = 2 \): \[ 1^2 < 2^2 + 3^2 \] \[ 1 < 4 + 9 \] \[ 1 < 13 \] (верно) Эти подходы и решения предоставляют понимание для каждого из упражнений.