ответы
Чтобы помочь вам понять задачу, давайте решим каждое упражнение шаг за шагом.
Упражнение 96
Нужно доказать, что произведение первых двух чисел равно произведению последних двух чисел: \( ab = cd \).
- Последовательность чисел: \( a, b, c, d \).
- Условие: \( a + b + c + d = 4(a - b + c - d) \).
Раскроем скобки:
\[ a + b + c + d = 4a - 4b + 4c - 4d \]
Перенесем все на одну сторону:
\[ a + b + c + d - 4a + 4b - 4c + 4d = 0 \]
Упрощение:
\[ -3a + 5b - 3c + 5d = 0 \]
Теперь нужно преобразовать это в \( ab = cd \). Для этого подхода не видно без дополнительных алгебраических манипуляций или других данных, так что ошибка в указанной задаче возможна либо требуется дать больше данных.
Упражнение 98
Нужно найти корень уравнения:
- Уравнение: \((2x + 1)(x + 6) = 3\).
Раскроем скобки:
\[ 2x(x + 6) + 1(x + 6) = 3 \]
\[ 2x^2 + 12x + x + 6 = 3 \]
Соберем подобные:
\[ 2x^2 + 13x + 6 = 3 \]
Перенесем 3 в левую сторону:
\[ 2x^2 + 13x + 3 = 0 \]
Решение квадратного уравнения возможно с помощью дискриминанта:
Дискриминант (\(D\)):
\[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \times 2 \times 3 = 169 - 24 = 145 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{145}}{4} \]
Два корня:
\[ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{145}}{4}, \quad x_2 = \frac{-13 - \sqrt{145}}{4} \]
Упражнение 99
Доказать, что:
\[ \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \]
Проверим правую часть:
\[ \text{Правая часть: } = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n+2 - n}{n(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)}\]
\[ = \frac{1}{n(n+2)} \]
Так что это доказательство верно.
Упражнение 100
Нужно найти три последовательных натуральных числа, чтобы квадрат меньшего из них был меньше суммы квадратов остальных двух.
Обозначим числа как \( n - 1, n, n + 1 \).
- Неравенство: \((n-1)^2 < n^2 + (n+1)^2\)
Раскроем скобки:
\[ n^2 - 2n + 1 < n^2 + n^2 + 2n + 1 \]
Упрощение:
\[ n^2 - 2n + 1 < 2n^2 + 2n + 1 \]
Переносим всё на одну сторону:
\[ 0 < n^2 + 4n \]
Отсюда видно, что \( n > 0 \), то есть \( n \) может быть любым натуральным числом. В качестве примера:
Возьмем \( n = 1, 2, 3 \):
- \( n - 1 = 1 \)
- \( n = 2 \)
- \( n + 1 = 3 \)
Проверяем для \( n = 2 \):
\[ 1^2 < 2^2 + 3^2 \]
\[ 1 < 4 + 9 \]
\[ 1 < 13 \] (верно)
Эти подходы и решения предоставляют понимание для каждого из упражнений.
