Реши задачу

Для решения задачи рассмотрим правильную четырёхугольную призму \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \). Дана диагональ \( BD \), которая равна боковому ребру и равна 5. Требуется найти косинус угла между диагоналями \( AC_1 \) и \( B_1D \).

1. Определим параметры призмы:

   • Так как призма правильная, \( ABCD \) — квадрат, а \( AA_1 = BB_1 = 5 \).

2. Найдём диагонали основания:

   • В основании \( ABCD \) диагональ \( BD = 5 \).
   • Для квадрата, если диагональ равна \( 5 \), то сторона \( a = \frac{5}{\sqrt{2}} \).

3. Выразим векторы диагоналей:

   • Выберем систему координат, где \( A = (0, 0, 0) \), \( B = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, 0, 0\right) \), \( C = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}, 0\right) \), и \( D = \left(0, \frac{5}{\sqrt{2}}, 0\right) \).
   • Верхняя грань призмы \( A_1 = \left(0, 0, 5\right) \), \( B_1 = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, 0, 5\right) \), \( C_1 = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}, 5\right) \), и \( D_1 = \left(0, \frac{5}{\sqrt{2}}, 5\right) \).

4. Запишем векторы \( AC_1 \) и \( B_1D \):

   • \( \overrightarrow{AC_1} = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}, 5\right) \).
   • \( \overrightarrow{B_1D} = \left( -\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}, 5 \right) \).

5. Найдём скалярное произведение векторов:

   \[ \overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{B_1D} = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right) \left(-\frac{5}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right) + 5 \cdot 5 \]

   \[ = -\frac{25}{2} + \frac{25}{2} + 25 = 25 \]

6. Найдём длины векторов:

   \[ |\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 + 5^2} = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25}{2} + 25} = \sqrt{50} \]

   \[ |\overrightarrow{B_1D}| = \sqrt{\left(-\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 + 5^2} = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25}{2} + 25} = \sqrt{50} \]

7. Найдём косинус угла между векторами:

   \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{B_1D}}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\overrightarrow{B_1D}|} = \frac{25}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} \]

Ответ: Косинус угла между диагоналями \( AC_1 \) и \( B_1D \) равен \( \frac{1}{2} \).