Решим систему уравнений из задачи 432(б):
[
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \
5x - 7y = 24
\end{cases}
]
Шаг 1: Выразим одно уравнение через одно из переменных
Выразим ( x ) из первого уравнения:
[
3x + 2y = 8 \implies 3x = 8 - 2y \implies x = \frac{8 - 2y}{3}
]
Шаг 2: Подставим в другое уравнение
Теперь подставим выражение для ( x ) во второе уравнение:
[
5\left(\frac{8 - 2y}{3}\right) - 7y = 24
]
Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
5(8 - 2y) - 21y = 72
]
Раскроем скобки:
[
40 - 10y - 21y = 72
]
Шаг 3: Объединим и решим простое уравнение
Сложим подобные члены:
[
40 - 31y = 72
]
Перенесем 40 в правую сторону:
[
-31y = 72 - 40
]
[
-31y = 32
]
Разделим обе стороны на -31:
[
y = -\frac{32}{31}
]
Шаг 4: Найдем ( x ) подставив ( y )
Теперь подставим значение ( y ) в выражение для ( x ):
[
x = \frac{8 - 2\left(-\frac{32}{31}\right)}{3}
]
Вычислим значение:
[
x = \frac{8 + \frac{64}{31}}{3}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
x = \frac{\frac{248}{31}}{3} = \frac{248}{93}
]
Таким образом, решение системы уравнений:
[
x = \frac{248}{93}, \quad y = -\frac{32}{31}
]
