432(б) Решите систему уравнений

Решим систему уравнений из задачи 432(б):

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 5x - 7y = 24 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим одно уравнение через одно из переменных

Выразим \( x \) из первого уравнения: \[ 3x + 2y = 8 \implies 3x = 8 - 2y \implies x = \frac{8 - 2y}{3} \]

Шаг 2: Подставим в другое уравнение

Теперь подставим выражение для \( x \) во второе уравнение: \[ 5\left(\frac{8 - 2y}{3}\right) - 7y = 24 \]

Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 5(8 - 2y) - 21y = 72 \]

Раскроем скобки: \[ 40 - 10y - 21y = 72 \]

Шаг 3: Объединим и решим простое уравнение

Сложим подобные члены: \[ 40 - 31y = 72 \]

Перенесем 40 в правую сторону: \[ -31y = 72 - 40 \]

\[ -31y = 32 \]

Разделим обе стороны на -31: \[ y = -\frac{32}{31} \]

Шаг 4: Найдем \( x \) подставив \( y \)

Теперь подставим значение \( y \) в выражение для \( x \): \[ x = \frac{8 - 2\left(-\frac{32}{31}\right)}{3} \]

Вычислим значение: \[ x = \frac{8 + \frac{64}{31}}{3} \]

Приведем к общему знаменателю: \[ x = \frac{\frac{248}{31}}{3} = \frac{248}{93} \]

Таким образом, решение системы уравнений: \[ x = \frac{248}{93}, \quad y = -\frac{32}{31} \]