Чтобы найти площадь правильного многоугольника, описанного около окружности с радиусом ( R ), мы можем воспользоваться следующей формулой:
[
S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)
]
где ( S ) — площадь многоугольника, ( n ) — количество сторон, а ( R ) — радиус описанной окружности.
Теперь давайте решим задачу по пунктам.
Задача 1: Многоугольник с 8 сторонами (октоген)
Дано:
- Количество сторон ( n = 8 )
- Радиус ( R = 4 , \text{см} )
Решение:
- Подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right)
]
- Посчитаем ( 4^2 ):
[
4^2 = 16
]
- Теперь найдём ( \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) ):
[
\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \implies \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
- Теперь, подставим всё обратно в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
- Упрощаем:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2}/2 = 16\sqrt{2}
]
Так как в условии указано, что если корня в ответе нет, то под знаком корня нужно писать 1. Мы оставим это в виде:
[
S = 16\sqrt{2} \approx 22.627
]
Округляем до целых:
[
S \approx 23
]
Ответ:
Площадь многоугольника с 8 сторонами: ( S \approx 23 , \text{см}^2 )
Задача 2: Многоугольник с 18 сторонами (октатейгон)
Дано:
- Количество сторон ( n = 18 )
- Радиус ( R = 4 , \text{см} )
Решение:
- Подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 4^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{18}\right)
]
Как и раньше, ( 4^2 = 16 ).
Теперь найдём ( \sin\left(\frac{2\pi}{18}\right) ):
[
\frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}
]
- Используем таблицы или калькулятор, чтобы найти значение:
[
\sin\left(\frac{\pi}{9}\right) \approx 0.342
]
- Подставим всё это обратно в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 16 \cdot 0.342
]
- Упрощаем:
[
S = 9 \cdot 16 \cdot 0.342 = 144 \cdot 0.342 \approx 49.248
]
Округляем до целых:
[
S \approx 49
]
Ответ:
Площадь многоугольника с 18 сторонами: ( S \approx 49 , \text{см}^2 )
Теперь у нас есть площади для обоих многоугольников.
