среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения 2 + sqrt(3) * cos(270 deg + x) = 2cos^2 x , принадлежащих отрезку [- pi/3; (7pi)/3]

Для решения данной задачи необходимо найти корни уравнения:

\[ 2 + \sqrt{3} \cos(270^\circ + x) = 2 \cos^2 x \]

и затем вычислить среднее арифметическое корней, которые принадлежат отрезку \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\).

Шаг 1: Упростим уравнение

Сначала упростим выражение на левой стороне. Мы знаем, что:

\[ \cos(270^\circ + x) = \cos(270^\circ) \cos(x) - \sin(270^\circ) \sin(x) = 0 \cdot \cos(x) + (-1) \cdot \sin(x) = -\sin(x) \]

Подставим это в наше уравнение:

\[ 2 - \sqrt{3} \sin(x) = 2 \cos^2(x) \]

Шаг 2: Используем тригонометрическую тождество

Заменим \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\) (по тождеству \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)):

\[ 2 - \sqrt{3} \sin(x) = 2 (1 - \sin^2(x)) \]

Упрощаем это:

\[ 2 - \sqrt{3} \sin(x) = 2 - 2 \sin^2(x) \]

Теперь вычтем 2 с обеих сторон:

\[ -\sqrt{3} \sin(x) = -2 \sin^2(x) \]

Умножим обе стороны на -1:

\[ \sqrt{3} \sin(x) = 2 \sin^2(x) \]

Шаг 3: Приведём уравнение к стандартному виду

Переносим все в одну сторону:

\[ 2 \sin^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) = 0 \]

Шаг 4: Вынесем общий множитель

Вынесем \(\sin(x)\):

\[ \sin(x)(2 \sin(x) - \sqrt{3}) = 0 \]

Шаг 5: Рассмотрим корни уравнения

Следовательно, у нас два случая:

1. \(\sin(x) = 0\)
2. \(2 \sin(x) - \sqrt{3} = 0\)

Случай 1: \(\sin(x) = 0\)

Корни этого уравнения имеют вид:

\[ x_n = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь определим, какие из этих корней принадлежат отрезку \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\):

• Для \(n = -1\): \(x_{-1} = -\pi\) (не попадает в отрезок).
• Для \(n = 0\): \(x_0 = 0\) (попадает).
• Для \(n = 1\): \(x_1 = \pi\) (попадает).
• Для \(n = 2\): \(x_2 = 2\pi\) (попадает).
• Для \(n = 3\): \(x_3 = 3\pi\) (не попадает).
• Для \(n = 4\): \(x_4 = 4\pi\) (не попадает).

Итак, корни в этом случае: \(0, \pi, 2\pi\).

Случай 2: \(2 \sin(x) - \sqrt{3} = 0\)

Решим уравнение:

\[ \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Основные значения этого уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Теперь подберем значения для \(k\), чтобы они попали в отрезок:

1. Для \(k = 0\):

   • \(x = \frac{\pi}{3}\) (попадает).
   • \(x = \frac{2\pi}{3}\) (попадает).

2. Для \(k = 1\):

   • \(x = \frac{7\pi}{3}\) (попадает).
   • \(x = \frac{8\pi}{3}\) (не попадает).

Шаг 6: Соберем все корни

Корни, которые попадают в отрезок \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\):

• \(0\)
• \(\pi\)
• \(2\pi\)
• \(\frac{\pi}{3}\)
• \(\frac{2\pi}{3}\)
• \(\frac{7\pi}{3}\)

Шаг 7: Находим среднее арифметическое

Теперь найдем среднее арифметическое значений корней:

\[ \text{Сумма} = 0 + \pi + 2\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \frac{7\pi}{3} = (0 + 3\pi + \frac{10\pi}{3}) = \frac{9\pi}{3} + \frac{10\pi}{3} = \frac{19\pi}{3} \]

Количество корней: \(6\).

Соответственно, среднее арифметическое:

\[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{\frac{19\pi}{3}}{6} = \frac{19\pi}{18} \]

Ответ

Среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения, принадлежащих отрезку \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\), равно:

\[ \frac{19\pi}{18} \]

Этот результат можно перевести в градусы, если потребуется. Для этого используем соотношение: \(\pi \text{ радиан} = 180^\circ\).

Таким образом, можем записать:

\[ \frac{19\pi}{18} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{19 \times 180^\circ}{18} = 190^\circ \]

Итак, среднее арифметическое корней в градусах составляет \(190^\circ\).