Среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения 2 + sqrt(3) * cos(270 deg + x) = 2cos^2 x , принадлежащих отрезку [- pi/3; (7pi)/3]

Для решения данной задачи необходимо найти корни уравнения: \[ 2 + \sqrt{3} \cos(270^\circ + x) = 2 \cos^2 x \] и затем вычислить среднее арифметическое корней, которые принадлежат отрезку \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\). ### Шаг 1: Упростим уравнение Сначала упростим выражение на левой стороне. Мы знаем, что: \[ \cos(270^\circ + x) = \cos(270^\circ) \cos(x) - \sin(270^\circ) \sin(x) = 0 \cdot \cos(x) + (-1) \cdot \sin(x) = -\sin(x) \] Подставим это в наше уравнение: \[ 2 - \sqrt{3} \sin(x) = 2 \cos^2(x) \] ### Шаг 2: Используем тригонометрическую тождество Заменим \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\) (по тождеству \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)): \[ 2 - \sqrt{3} \sin(x) = 2 (1 - \sin^2(x)) \] Упрощаем это: \[ 2 - \sqrt{3} \sin(x) = 2 - 2 \sin^2(x) \] Теперь вычтем 2 с обеих сторон: \[ -\sqrt{3} \sin(x) = -2 \sin^2(x) \] Умножим обе стороны на -1: \[ \sqrt{3} \sin(x) = 2 \sin^2(x) \] ### Шаг 3: Приведём уравнение к стандартному виду Переносим все в одну сторону: \[ 2 \sin^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) = 0 \] ### Шаг 4: Вынесем общий множитель Вынесем \(\sin(x)\): \[ \sin(x)(2 \sin(x) - \sqrt{3}) = 0 \] ### Шаг 5: Рассмотрим корни уравнения Следовательно, у нас два случая: 1. \(\sin(x) = 0\) 2. \(2 \sin(x) - \sqrt{3} = 0\) #### Случай 1: \(\sin(x) = 0\) Корни этого уравнения имеют вид: \[ x_n = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] Теперь определим, какие из этих корней принадлежат отрезку \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\): - Для \(n = -1\): \(x_{-1} = -\pi\) (не попадает в отрезок). - Для \(n = 0\): \(x_0 = 0\) (попадает). - Для \(n = 1\): \(x_1 = \pi\) (попадает). - Для \(n = 2\): \(x_2 = 2\pi\) (попадает). - Для \(n = 3\): \(x_3 = 3\pi\) (не попадает). - Для \(n = 4\): \(x_4 = 4\pi\) (не попадает). Итак, корни в этом случае: \(0, \pi, 2\pi\). #### Случай 2: \(2 \sin(x) - \sqrt{3} = 0\) Решим уравнение: \[ \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Основные значения этого уравнения: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Теперь подберем значения для \(k\), чтобы они попали в отрезок: 1. Для \(k = 0\): - \(x = \frac{\pi}{3}\) (попадает). - \(x = \frac{2\pi}{3}\) (попадает). 2. Для \(k = 1\): - \(x = \frac{7\pi}{3}\) (попадает). - \(x = \frac{8\pi}{3}\) (не попадает). ### Шаг 6: Соберем все корни Корни, которые попадают в отрезок \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\): - \(0\) - \(\pi\) - \(2\pi\) - \(\frac{\pi}{3}\) - \(\frac{2\pi}{3}\) - \(\frac{7\pi}{3}\) ### Шаг 7: Находим среднее арифметическое Теперь найдем среднее арифметическое значений корней: \[ \text{Сумма} = 0 + \pi + 2\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \frac{7\pi}{3} = (0 + 3\pi + \frac{10\pi}{3}) = \frac{9\pi}{3} + \frac{10\pi}{3} = \frac{19\pi}{3} \] Количество корней: \(6\). Соответственно, среднее арифметическое: \[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{\frac{19\pi}{3}}{6} = \frac{19\pi}{18} \] ### Ответ Среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения, принадлежащих отрезку \([- \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\), равно: \[ \frac{19\pi}{18} \] Этот результат можно перевести в градусы, если потребуется. Для этого используем соотношение: \(\pi \text{ радиан} = 180^\circ\). Таким образом, можем записать: \[ \frac{19\pi}{18} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{19 \times 180^\circ}{18} = 190^\circ \] Итак, среднее арифметическое корней в градусах составляет \(190^\circ\).