Для решения уравнения ( \sin x = \frac{1}{2} ) на заданном интервале ( x \in [0; \pi] ), давайте следовать следующим шагам:
Шаг 1: Определение значений x, для которых sin x = 1/2
Значение ( \frac{1}{2} ) соответствует определённым углам на единичной окружности. Мы знаем, что:
[
\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
]
Это один из стандартных углов (30 градусов).
Шаг 2: Учет периода функции
Функция синус имеет период ( 2\pi ), что означает, что вы можете добавлять или вычитать ( 2\pi ) (или кратные ( 2\pi )) от angles для нахождения других решений. Однако, так как мы ищем решения только в интервале ( [0; \pi] ), давайте запишем формулу для всех решений:
[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,
]
где ( k ) — любое целое число.
Шаг 3: Ограничение интервала
Теперь, поскольку мы ищем решения лишь в интервале ( [0; \pi] ), давайте проверим, какие значения ( k ) подходят:
Для ( k = 0 ):
- ( x = \frac{\pi}{6} ) (входит в интервал [0, π])
- ( x = \frac{5\pi}{6} ) (входит в интервал [0, π])
Для ( k = 1 ) и более:
- ( \frac{\pi}{6} + 2\pi ) уже больше π.
- ( \frac{5\pi}{6} + 2\pi ) также больше π.
Шаг 4: Запись корней уравнения
Таким образом, корни уравнения ( \sin x = \frac{1}{2} ) в интервале ( [0; \pi] ) — это:
[
x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}
]
Итого
Корни уравнения ( \sin x = \frac{1}{2} ) на заданном промежутке ( [0; \pi] ):
- ( x_1 = \frac{\pi}{6} )
- ( x_2 = \frac{5\pi}{6} )
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
