Контрольная работа № 2 по геометрии Вариант II 1 (4 балла). ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. Определите, C B являются ли утверждения верными: a) прямые D1D и АС…

Для решения данной задачи по геометрии, которая касается прямоугольного параллелепипеда, давайте разберем каждое утверждение по отдельности и определим, верны ли они.

Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 – это фигура, у которой все грани являются прямыми параллелограммами, в частности, прямоугольниками. Для удобства будем считать, что:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, b, 0)
• D(0, b, 0)
• A1(0, 0, c)
• B1(a, 0, c)
• C1(a, b, c)
• D1(0, b, c)

Теперь давайте рассмотрим каждое из утверждений.

Утверждение а:

Прямые D1D и AC взаимно перпендикулярны.

Проверим, являются ли прямые D1D и AC перпендикулярными.

• Вектор D1D можно выразить как \(D1D: D1(0,b,c) \to D(0,b,0)\): \[ \text{Вектор D1D} = D - D1 = (0, b, 0) - (0, b, c) = (0, 0, -c) \]

• Вектор AC можно выразить как \(A(0,0,0) \to C(a,b,0)\): \[ \text{Вектор AC} = C - A = (a, b, 0) - (0, 0, 0) = (a, b, 0) \]

Теперь проверим их скалярное произведение: \[ D1D \cdot AC = (0, 0, -c) \cdot (a, b, 0) = 0 \cdot a + 0 \cdot b - c \cdot 0 = 0 \]

Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Утверждение а верно.

Утверждение б:

Плоскости ABD и C1D1B1 взаимно перпендикулярны.

Плоскость ABD образована векторами AB и AD:

• Вектор AB: \(B - A = (a, 0, 0)\)
• Вектор AD: \(D - A = (0, b, 0)\)

Плоскость C1D1B1 образована векторами C1D1 и C1B1:

• Вектор C1D1: \(D1 - C1 = (0, b, c) - (a, b, c) = (-a, 0, 0)\)
• Вектор C1B1: \(B1 - C1 = (a, 0, c) - (a, b, c) = (0, -b, 0)\)

Теперь найдем нормали этих плоскостей:

• Нормаль плоскости ABD: \( \text{n1} = AB \times AD = (a, 0, 0) \times (0, b, 0) = (0, 0, ab) \)
• Нормаль плоскости C1D1B1: \( \text{n2} = C1D1 \times C1B1 = (-a, 0, 0) \times (0, -b, 0) = (0, 0, ab) \)

Скалярное произведение нормалей: \[ \text{n1} \cdot \text{n2} = (0, 0, ab) \cdot (0, 0, ab) = 0 \]

Так как оно также равно нулю, плоскости перпендикулярны. Утверждение б верно.

Утверждение в:

Двугранный угол B1D1DC – прямой.

Двугранный угол B1D1DC образован этими ребрами:

• B1D1 и DC.

Проверим перпендикулярность:

• Вектор B1D1: \(D1 - B1 = (0, b, c) - (a, 0, c) = (-a, b, 0)\)
• Вектор DC: \(D - C = (0, b, 0) - (a, b, 0) = (-a, 0, 0)\)

Теперь: \[ B1D1 \cdot DC = (-a, b, 0) \cdot (-a, 0, 0) = a^2 + 0 + 0 = a^2 \]

Так как скалярное произведение не равно нулю, двугранный угол не является прямым. Утверждение в не верно.

Утверждение г:

Отрезок B1D1 равен отрезку BD.

Рассмотрим длины отрезков:

• Длина B1D1: \[ |B1D1| = \sqrt{(0-a)^2 + (b-0)^2 + (c-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \]

• Длина BD: \[ |BD| = \sqrt{(0-a)^2 + (0-b)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Поскольку длины не равны, утверждение г не верно.

Итог:

1. Утверждение а: верно.
2. Утверждение б: верно.
3. Утверждение в: не верно.
4. Утверждение г: не верно.