Контрольная работа № 2 по геометрии Вариант II
1 (4 балла). ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. Определите, C B являются ли утверждения верными:
a) прямые D1D и АС взаимно
A1
перпендикулярны;
б) плоскости ABD и C1D1B1 взаимно перпендикулярны;
b) двугранный угол B1D1DC - прямой;
г) отрезок B1D1 равен отрезку BD.
Для решения данной задачи по геометрии, которая касается прямоугольного параллелепипеда, давайте разберем каждое утверждение по отдельности и определим, верны ли они.
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 – это фигура, у которой все грани являются прямыми параллелограммами, в частности, прямоугольниками. Для удобства будем считать, что:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, b, 0)
- D(0, b, 0)
- A1(0, 0, c)
- B1(a, 0, c)
- C1(a, b, c)
- D1(0, b, c)
Теперь давайте рассмотрим каждое из утверждений.
### Утверждение а:
**Прямые D1D и AC взаимно перпендикулярны.**
Проверим, являются ли прямые D1D и AC перпендикулярными.
- Вектор D1D можно выразить как \(D1D: D1(0,b,c) \to D(0,b,0)\):
\[
\text{Вектор D1D} = D - D1 = (0, b, 0) - (0, b, c) = (0, 0, -c)
\]
- Вектор AC можно выразить как \(A(0,0,0) \to C(a,b,0)\):
\[
\text{Вектор AC} = C - A = (a, b, 0) - (0, 0, 0) = (a, b, 0)
\]
Теперь проверим их скалярное произведение:
\[
D1D \cdot AC = (0, 0, -c) \cdot (a, b, 0) = 0 \cdot a + 0 \cdot b - c \cdot 0 = 0
\]
Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. **Утверждение а верно.**
### Утверждение б:
**Плоскости ABD и C1D1B1 взаимно перпендикулярны.**
Плоскость ABD образована векторами AB и AD:
- Вектор AB: \(B - A = (a, 0, 0)\)
- Вектор AD: \(D - A = (0, b, 0)\)
Плоскость C1D1B1 образована векторами C1D1 и C1B1:
- Вектор C1D1: \(D1 - C1 = (0, b, c) - (a, b, c) = (-a, 0, 0)\)
- Вектор C1B1: \(B1 - C1 = (a, 0, c) - (a, b, c) = (0, -b, 0)\)
Теперь найдем нормали этих плоскостей:
- Нормаль плоскости ABD: \( \text{n1} = AB \times AD = (a, 0, 0) \times (0, b, 0) = (0, 0, ab) \)
- Нормаль плоскости C1D1B1: \( \text{n2} = C1D1 \times C1B1 = (-a, 0, 0) \times (0, -b, 0) = (0, 0, ab) \)
Скалярное произведение нормалей:
\[
\text{n1} \cdot \text{n2} = (0, 0, ab) \cdot (0, 0, ab) = 0
\]
Так как оно также равно нулю, плоскости перпендикулярны. **Утверждение б верно.**
### Утверждение в:
**Двугранный угол B1D1DC – прямой.**
Двугранный угол B1D1DC образован этими ребрами:
- B1D1 и DC.
Проверим перпендикулярность:
- Вектор B1D1: \(D1 - B1 = (0, b, c) - (a, 0, c) = (-a, b, 0)\)
- Вектор DC: \(D - C = (0, b, 0) - (a, b, 0) = (-a, 0, 0)\)
Теперь:
\[
B1D1 \cdot DC = (-a, b, 0) \cdot (-a, 0, 0) = a^2 + 0 + 0 = a^2
\]
Так как скалярное произведение не равно нулю, двугранный угол не является прямым. **Утверждение в не верно.**
### Утверждение г:
**Отрезок B1D1 равен отрезку BD.**
Рассмотрим длины отрезков:
- Длина B1D1:
\[
|B1D1| = \sqrt{(0-a)^2 + (b-0)^2 + (c-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
- Длина BD:
\[
|BD| = \sqrt{(0-a)^2 + (0-b)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]
Поскольку длины не равны, **утверждение г не верно.**
### Итог:
1. Утверждение а: верно.
2. Утверждение б: верно.
3. Утверждение в: не верно.
4. Утверждение г: не верно.
