Давайте разложим на множители выражение (a^6 - 8). Это выражение является разностью кубов, потому что (8) можно представить как (2^3). Таким образом, мы переписываем задачу следующим образом:
[ a^6 - 8 = a^6 - 2^3 ]
Разность кубов раскладывается по формуле:
[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
]
В нашем случае:
- (x = a^2) (поскольку (a^6 = (a^2)^3))
- (y = 2) (поскольку (8 = 2^3))
Теперь подставим эти значения в формулу разности кубов:
[
a^6 - 8 = (a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2)
]
Следующий шаг — упростить второй множитель:
[
(a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2 = a^4 + 2a^2 + 4
]
Теперь мы можем записать окончательный результат разложения:
[
a^6 - 8 = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)
]
Теперь мы можем проверить дальнейшее разложение. Первый множитель (a^2 - 2) можно разложить в корни:
[
a^2 - 2 = (a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})
]
Второй множитель (a^4 + 2a^2 + 4) не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12
]
Таким образом, он остается в таком виде.
Итак, в итоге мы получаем окончательное разложение на множители:
[
a^6 - 8 = (a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})(a^4 + 2a^2 + 4)
]
Это разложение на множители выражения (a^6 - 8).
