12. Треугольник АВС равнобедренный. Найди длину стороны ВС, если известно, что площадь треугольника равна 1920, а основание АС = 64

Чтобы найти длину стороны \( BC \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \), где известно основание \( AC = 64 \) и площадь \( S = 1920 \), будем следовать пошаговому решению.

Шаг 1: Напомним формулу площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, \] где \( a \) — основание треугольника, а \( h \) — высота.

В нашем случае основание \( AC \) равно 64, а площадь \( S \) равна 1920. Подставим известные значения в формулу.

Шаг 2: Подставляем известные значения

Используя данные, мы имеем: \[ 1920 = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot h. \]

Шаг 3: Выразим высоту \( h \)

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 3840 = 64 \cdot h. \]

Теперь разделим обе стороны на 64, чтобы найти высоту \( h \): \[ h = \frac{3840}{64} = 60. \]

Мы нашли высоту \( h = 60 \).

Шаг 4: Нахождение длины стороны \( BC \)

Теперь у нас есть высота и основание треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, делит основание пополам. Обозначим точку \( D \) как середину основания \( AC \). Тогда: \[ AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{64}{2} = 32. \]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( ABD \) с катетами \( AD \) и \( h \), и мы можем найти длину стороны \( AB \) (которая равна стороне \( BC \) в равнобедренном треугольнике) с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AD^2 + h^2. \]

Шаг 5: Применяем теорему Пифагора

\[ AB^2 = 32^2 + 60^2. \]

Шаг 6: Вычисляем значения

Сначала посчитаем \( 32^2 \) и \( 60^2 \): \[ 32^2 = 1024, \] \[ 60^2 = 3600. \]

Теперь подставим их в формулу: \[ AB^2 = 1024 + 3600 = 4624. \]

Шаг 7: Найдем длину стороны \( AB \)

Теперь найдём \( AB \), взяв квадратный корень: \[ AB = \sqrt{4624} = 68. \]

Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( 68 \).

Ответ

Длина стороны \( BC = 68 \).