Для решения задачи сначала обозначим необходимые данные и переменные:
- Пусть ( d ) – расстояние между пунктами (в км).
- Пусть ( v ) – скорость катера в неподвижной воде (в км/ч).
- Скорость течения реки равна ( 3,5 ) км/ч.
- Время, за которое катер прошел расстояние вниз по течению, равно ( 7 ) часов.
- Время, за которое катер прошел расстояние вверх по течению, равно ( 8 ) часов.
Теперь можем записать формулы для скорости катера:
- По течению (вниз):
[
v_{\text{вниз}} = v + 3,5
]
- Против течения (вверх):
[
v_{\text{вверх}} = v - 3,5
]
Согласно правилам, можно также выразить расстояние в зависимости от времени и скорости:
Для движения вниз по течению:
[
d = (v + 3,5) \cdot 7
]
Для движения вверх по течению:
[
d = (v - 3,5) \cdot 8
]
Теперь у нас есть два уравнения, и они равны между собой, так как расстояние ( d ) одно и то же:
[
(v + 3,5) \cdot 7 = (v - 3,5) \cdot 8
]
Раскроем скобки:
[
7v + 24,5 = 8v - 28
]
Теперь перенесем все члены с ( v ) в одну сторону, а остальные – в другую:
[
24,5 + 28 = 8v - 7v
]
[
52,5 = v
]
Теперь, чтобы найти расстояние ( d ), подставим найденное значение скорости ( v ) в одно из уравнений. Используем уравнение для движения вниз по течению:
[
d = (52,5 + 3,5) \cdot 7
]
[
d = (56) \cdot 7
]
[
d = 392 \text{ км}
]
Таким образом, расстояние между двумя пунктами равно 392 км.
