Для анализа квадратичной функции ( f(x) = -2(x+3)(x-5) ) начнем с определения области определения и множества значений этой функции.
Шаг 1: Область определения
Квадратичные функции, как и полиномы, имеют область определения, равную всем действительным числам. То есть:
[
\text{Область определения: } D = \mathbb{R}
]
Шаг 2: Преобразование функции в стандартный вид
Для поиска множества значений полезно привести функцию к стандартному виду ( f(x) = ax^2 + bx + c ).
- Раскроем скобки:
[
f(x) = -2((x+3)(x-5)) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)
]
- Упростим:
[
f(x) = -2(x^2 - 2x - 15) = -2x^2 + 4x + 30
]
Таким образом, функцию можно записать в виде:
[
f(x) = -2x^2 + 4x + 30
]
Шаг 3: Находим вершину параболы
Функция ( f(x) ) является квадратичной и описывает параболу, направленную вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный). Чтобы найти максимум (вершину параболы), можем использовать формулу для абсциссы вершины квадратичной функции ( x = -\frac{b}{2a} ).
Здесь ( a = -2 ) и ( b = 4 ):
[
x = -\frac{4}{2 \cdot -2} = 1
]
Теперь подставим значение ( x = 1 ) в функцию, чтобы найти соответствующее значение ( f(x) ):
[
f(1) = -2(1^2) + 4(1) + 30 = -2 + 4 + 30 = 32
]
Шаг 4: Множество значений
Поскольку парабола открыта вниз, её максимум (вершина) – это наибольшее значение функции. То есть:
[
f(x) \leq 32
]
Таким образом, множество значений функции ( f(x) ) будет:
[
\text{Множество значений: } E = (-\infty, 32]
]
Ответ
- Область определения: ( D = \mathbb{R} ) (все действительные числа)
- Множество значений: ( E = (-\infty, 32] )
