найдите область определения и множество значений квадратичной функции f(x)=-2(x+3)(x-5)
Для анализа квадратичной функции \( f(x) = -2(x+3)(x-5) \) начнем с определения области определения и множества значений этой функции.
Шаг 1: Область определения
Квадратичные функции, как и полиномы, имеют область определения, равную всем действительным числам. То есть:
\[ \text{Область определения: } D = \mathbb{R} \]
Шаг 2: Преобразование функции в стандартный вид
Для поиска множества значений полезно привести функцию к стандартному виду \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
- Раскроем скобки:
\[ f(x) = -2((x+3)(x-5)) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15) \]
- Упростим:
\[ f(x) = -2(x^2 - 2x - 15) = -2x^2 + 4x + 30 \]
Таким образом, функцию можно записать в виде:
\[ f(x) = -2x^2 + 4x + 30 \]
Шаг 3: Находим вершину параболы
Функция \( f(x) \) является квадратичной и описывает параболу, направленную вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Чтобы найти максимум (вершину параболы), можем использовать формулу для абсциссы вершины квадратичной функции \( x = -\frac{b}{2a} \).
Здесь \( a = -2 \) и \( b = 4 \):
\[ x = -\frac{4}{2 \cdot -2} = 1 \]
Теперь подставим значение \( x = 1 \) в функцию, чтобы найти соответствующее значение \( f(x) \):
\[ f(1) = -2(1^2) + 4(1) + 30 = -2 + 4 + 30 = 32 \]
Шаг 4: Множество значений
Поскольку парабола открыта вниз, её максимум (вершина) – это наибольшее значение функции. То есть:
\[ f(x) \leq 32 \]
Таким образом, множество значений функции \( f(x) \) будет:
\[ \text{Множество значений: } E = (-\infty, 32] \]
Ответ
- Область определения: \( D = \mathbb{R} \) (все действительные числа)
- Множество значений: \( E = (-\infty, 32] \)
