Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Условия задачи
- Время движения против течения реки: 7 часов.
- Время движения по озеру: 2 часа.
- Общее расстояние: 103 километра.
- Скорость течения реки: 2 км/ч.
Обозначим переменные
Обозначим собственную скорость катера как ( v ) км/ч.
1. Движение против течения реки
Когда катер движется против течения, его скорость относительно земли будет:
[
v_{\text{против}} = v - 2 \text{ (км/ч)}
]
(где 2 км/ч — скорость течения реки).
Расстояние, которое катер проходит против течения за 7 часов:
[
S_{\text{против}} = (v - 2) \times 7
]
2. Движение по озеру
Когда катер движется по озеру, его скорость остается ( v ) км/ч. Расстояние, которое катер проходит по озеру за 2 часа:
[
S_{\text{озеро}} = v \times 2
]
3. Общее расстояние
Согласно условию задачи, общее расстояние равно 103 километрам:
[
S_{\text{против}} + S_{\text{озеро}} = 103
]
Подставим наши выражения для расстояний:
[
7(v - 2) + 2v = 103
]
Решение уравнения
Теперь упростим уравнение:
[
7v - 14 + 2v = 103
]
Сложим подобные:
[
9v - 14 = 103
]
Добавим 14 к обеим сторонам уравнения:
[
9v = 117
]
Теперь разделим обе стороны на 9:
[
v = \frac{117}{9} = 13 \text{ (км/ч)}
]
Ответ
Собственная скорость катера равна 13 км/ч.
Проверка
Теперь проверим правильность нашего решения, подставив найденное значение ( v ) обратно в условия задачи:
- Скорость против течения: ( 13 - 2 = 11 ) км/ч.
- Расстояние против течения: ( 11 \times 7 = 77 ) км.
- Расстояние по озеру: ( 13 \times 2 = 26 ) км.
- Общее расстояние: ( 77 + 26 = 103 ) км.
Так как все условия выполнены, решение верно.
В итоге, собственная скорость катера — 13 км/ч.
