за 7 часов при движении вверх против течения реки и 2 часа по озеру катер проходит 103 километров. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Условия задачи

• Время движения против течения реки: 7 часов.
• Время движения по озеру: 2 часа.
• Общее расстояние: 103 километра.
• Скорость течения реки: 2 км/ч.

Обозначим переменные

Обозначим собственную скорость катера как \( v \) км/ч.

1. Движение против течения реки

Когда катер движется против течения, его скорость относительно земли будет: \[ v_{\text{против}} = v - 2 \text{ (км/ч)} \] (где 2 км/ч — скорость течения реки).

Расстояние, которое катер проходит против течения за 7 часов: \[ S_{\text{против}} = (v - 2) \times 7 \]

2. Движение по озеру

Когда катер движется по озеру, его скорость остается \( v \) км/ч. Расстояние, которое катер проходит по озеру за 2 часа: \[ S_{\text{озеро}} = v \times 2 \]

3. Общее расстояние

Согласно условию задачи, общее расстояние равно 103 километрам: \[ S_{\text{против}} + S_{\text{озеро}} = 103 \] Подставим наши выражения для расстояний: \[ 7(v - 2) + 2v = 103 \]

Решение уравнения

Теперь упростим уравнение: \[ 7v - 14 + 2v = 103 \] Сложим подобные: \[ 9v - 14 = 103 \] Добавим 14 к обеим сторонам уравнения: \[ 9v = 117 \] Теперь разделим обе стороны на 9: \[ v = \frac{117}{9} = 13 \text{ (км/ч)} \]

Ответ

Собственная скорость катера равна 13 км/ч.

Проверка

Теперь проверим правильность нашего решения, подставив найденное значение \( v \) обратно в условия задачи:

1. Скорость против течения: \( 13 - 2 = 11 \) км/ч.
2. Расстояние против течения: \( 11 \times 7 = 77 \) км.
3. Расстояние по озеру: \( 13 \times 2 = 26 \) км.
4. Общее расстояние: \( 77 + 26 = 103 \) км.

Так как все условия выполнены, решение верно.

В итоге, собственная скорость катера — 13 км/ч.