Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника ( ABC ) с основанием ( AC = 24 ) и углом ( \angle A ), где тангенс угла равен ( \tan \angle A = \frac{3}{2} ), будем следовать пошагово.
Шаг 1: Определение высоты
В равнобедренном треугольнике ( ABC ) высота из вершины ( B ) опускается на основание ( AC ) и делит его пополам. Обозначим точку, где высота пересекает основание как ( D ). Тогда:
[
AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12
]
Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ( ABD ), в котором:
- ( AD = 12 )
- ( h = BD ) (высота, которую мы ищем)
- ( \tan \angle A = \frac{h}{AD} )
Подставив известные значения:
[
\tan \angle A = \frac{h}{12} = \frac{3}{2}
]
Шаг 2: Вычисление высоты
Теперь выразим высоту ( h ):
[
h = 12 \cdot \frac{3}{2} = 12 \cdot 1.5 = 18
]
Шаг 3: Вычисление площади треугольника
Площадь ( S ) треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота
]
Подставим данные значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18
]
Шаг 4: Расчет площади
Выполним умножение:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216
]
Ответ
Площадь треугольника ( ABC ) составляет ( 216 ) квадратных единиц.
