В равнобедренном треугольнике A B C ABC основание A C = 24 AC=24 и tg ⁡ ∠ A = 2 3 tg∠A= 3 2 ​ . Найдите площадь треугольника A B C ABC

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( AC = 24 \) и углом \( \angle A \), где тангенс угла равен \( \tan \angle A = \frac{3}{2} \), будем следовать пошагово.

Шаг 1: Определение высоты

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) высота из вершины \( B \) опускается на основание \( AC \) и делит его пополам. Обозначим точку, где высота пересекает основание как \( D \). Тогда:

\[ AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \( ABD \), в котором:

• \( AD = 12 \)
• \( h = BD \) (высота, которую мы ищем)
• \( \tan \angle A = \frac{h}{AD} \)

Подставив известные значения:

\[ \tan \angle A = \frac{h}{12} = \frac{3}{2} \]

Шаг 2: Вычисление высоты

Теперь выразим высоту \( h \):

\[ h = 12 \cdot \frac{3}{2} = 12 \cdot 1.5 = 18 \]

Шаг 3: Вычисление площади треугольника

Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]

Подставим данные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 \]

Шаг 4: Расчет площади

Выполним умножение:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216 \]

Ответ

Площадь треугольника \( ABC \) составляет \( 216 \) квадратных единиц.