x^2/x^2-5=4x-3/x^2-5 Запишите корни в порядке возрастания x1= x2=
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{x^2}{x^2 - 5} = \frac{4x - 3}{x^2 - 5} \]
Шаг 1: Определение области определения
Прежде чем продолжать, важно заметить, что выражение имеет область определения, в которой знаменатель не равен нулю. То есть:
\[ x^2 - 5 \neq 0 \]
Отсюда:
\[ x^2 \neq 5 \implies x \neq \sqrt{5} \text{ и } x \neq -\sqrt{5} \]
Шаг 2: Удаление знаменателей
Так как знаменатели равны (при условии, что они не равны нулю), мы можем умножить обе стороны уравнения на \(x^2 - 5\):
\[ x^2 = 4x - 3 \]
Шаг 3: Приведение уравнения к стандартной форме
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Это уравнение можно решить, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
Подставим значения:
- Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
- Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 5: Ответ
Теперь запишем корни в порядке возрастания:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 3 \]
Проверка условий
Проверяем, что найденные корни не равны \( \sqrt{5} \) или \(-\sqrt{5}\), или \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\) подходящие:
- \( 1 \neq \sqrt{5}\)
- \( 1 \neq -\sqrt{5}\)
- \( 3 \neq \sqrt{5}\)
- \( 3 \neq -\sqrt{5}\)
Значит, корни корректны и мы можем записать ответ:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 3 \]
Таким образом, задача решена.
