Давайте решим уравнение:
[
\frac{x^2}{x^2 - 5} = \frac{4x - 3}{x^2 - 5}
]
Шаг 1: Определение области определения
Прежде чем продолжать, важно заметить, что выражение имеет область определения, в которой знаменатель не равен нулю. То есть:
[
x^2 - 5 \neq 0
]
Отсюда:
[
x^2 \neq 5 \implies x \neq \sqrt{5} \text{ и } x \neq -\sqrt{5}
]
Шаг 2: Удаление знаменателей
Так как знаменатели равны (при условии, что они не равны нулю), мы можем умножить обе стороны уравнения на (x^2 - 5):
[
x^2 = 4x - 3
]
Шаг 3: Приведение уравнения к стандартной форме
Переносим все слагаемые в одну сторону:
[
x^2 - 4x + 3 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Это уравнение можно решить, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь (a = 1), (b = -4), (c = 3).
Подставим значения:
- Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
]
- Находим корни:
[
x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}
]
[
x_1 = \frac{6}{2} = 3
]
[
x_2 = \frac{2}{2} = 1
]
Шаг 5: Ответ
Теперь запишем корни в порядке возрастания:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = 3
]
Проверка условий
Проверяем, что найденные корни не равны ( \sqrt{5} ) или (-\sqrt{5}), или (x_1 = 1) и (x_2 = 3) подходящие:
- ( 1 \neq \sqrt{5})
- ( 1 \neq -\sqrt{5})
- ( 3 \neq \sqrt{5})
- ( 3 \neq -\sqrt{5})
Значит, корни корректны и мы можем записать ответ:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = 3
]
Таким образом, задача решена.
