Найти стационарные точки f(x)=x^3+3/x-12

Чтобы найти стационарные точки функции \( f(x) = x^3 + \frac{3}{x} - 12 \), необходимо выполнить несколько шагов. Стационарные точки определяются как значения \( x \), где первая производная функции равна нулю.

Шаг 1: Найти первую производную функции

Первая производная функции \( f(x) \) обозначается \( f'(x) \). Мы находим производную, используя правила дифференцирования.

Для функции \( f(x) \) у нас есть два члена, которые необходимо дифференцировать:

1. \( x^3 \) — производная равна \( 3x^2 \).
2. \( \frac{3}{x} \) — можно переписать как \( 3x^{-1} \), тогда производная по правилу степени будет \( -3x^{-2} \) или \( -\frac{3}{x^2} \).

Теперь можем записать первую производную:

\[ f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x^2} \]

Шаг 2: Привести к общему знаменателю

Чтобы упростить анализ, приведём производную к общему знаменателю:

\[ f'(x) = \frac{3x^4 - 3}{x^2} \]

Теперь можем упростить:

\[ f'(x) = \frac{3(x^4 - 1)}{x^2} \]

Шаг 3: Найти, когда первая производная равна нулю

Стационарные точки находятся, когда \( f'(x) = 0 \):

\[ \frac{3(x^4 - 1)}{x^2} = 0 \]

Поскольку дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, при условии что знаменатель не равен нулю, решим уравнение:

\[ x^4 - 1 = 0 \]

Шаг 4: Решить уравнение

Это уравнение можно разложить на множители:

\[ (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два уравнения:

1. \( x^2 - 1 = 0 \) → \( x^2 = 1 \) → \( x = 1 \) или \( x = -1 \)
2. \( x^2 + 1 = 0 \) → \( x^2 = -1 \) → \( x = i \) или \( x = -i \) (комплексные корни)

Мы ищем стационарные точки на числовой оси, поэтому интересуют только \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Шаг 5: Проверка исключительных точек

Теперь необходимо проверить, что \( x = 1 \) и \( x = -1 \) не делают знаменатель равным нулю в производной.

Знаменатель \( x^2 \) равен нулю, когда \( x = 0 \). Поскольку \( x = 1 \) и \( x = -1 \) не равны нулю, стационарные точки действительны.

Ответ

Стационарные точки функции \( f(x) = x^3 + \frac{3}{x} - 12 \) находятся в точках:

• \( x = 1 \)
• \( x = -1 \)

Это и есть ответ на задачу!