найди наименьшее значение функции x^5+20x^3-68 на отрезке [-3;3]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = x^5 + 20x^3 - 68 \) на отрезке \([-3, 3]\), нам нужно выполнить следующие шаги.
Шаг 1: Найти производную функции
Первым делом найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(20x^3) - \frac{d}{dx}(68) \] \[ f'(x) = 5x^4 + 60x^2 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Поскольку производная многочлена определена для всех \( x \), мы решаем уравнение:
\[ 5x^4 + 60x^2 = 0 \]
Выделим общий множитель:
\[ 5x^2(x^2 + 12) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, если:
- \( 5x^2 = 0 \) \( \Rightarrow x = 0 \)
- \( x^2 + 12 = 0 \) не имеет действительных решений, так как \( x^2 = -12 \).
Следовательно, единственная критическая точка на отрезке \([-3, 3]\) — это \( x = 0 \).
Шаг 3: Вычислить значение функции в критических точках и на границах отрезка
Теперь нужно вычислить значение функции \( f(x) \) в критической точке и на границах заданного отрезка:
На границе \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^5 + 20(-3)^3 - 68 = -243 - 540 - 68 = -851 \]
На границе \( x = 3 \): \[ f(3) = (3)^5 + 20(3)^3 - 68 = 243 + 540 - 68 = 715 \]
В критической точке \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^5 + 20 \cdot 0^3 - 68 = -68 \]
Шаг 4: Сравнить значения
Теперь у нас есть три значения:
- \( f(-3) = -851 \)
- \( f(0) = -68 \)
- \( f(3) = 715 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([-3, 3]\) — это
\[ \boxed{-851} \]
Таким образом, минимальное значение функции \( f(x) \) на заданном отрезке достигается при \( x = -3 \) и равно -851.
