Найди площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x+2 и графиком её первообразной, проведённым через точку A(2;10) .

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции \(y=4x+2\) и графиком её первообразной, через точку \(A(2;10)\), следуем следующему алгоритму.

Шаг 1: Найдем первообразную функции

Для функции \(y=4x+2\) найдем первообразную \(F(x)\): \[ F(x) = \int (4x + 2) \, dx = 2x^2 + 2x + C \]

Где \(C\) — произвольная константа.

Шаг 2: Определим константу \(C\)

Мы знаем, что график первообразной проходит через точку \(A(2, 10)\): \[ F(2) = 2(2^2) + 2(2) + C = 10 \] \[ F(2) = 2 \cdot 4 + 4 + C = 10 \] \[ 8 + 4 + C = 10 \] \[ 12 + C = 10 \implies C = 10 - 12 = -2 \]

Таким образом, у нас есть полная форма первообразной: \[ F(x) = 2x^2 + 2x - 2 \]

Шаг 3: Найдем точки пересечения графиков \(y = 4x + 2\) и \(F(x) = 2x^2 + 2x - 2\)

Для этого нужно приравнять функции: \[ 4x + 2 = 2x^2 + 2x - 2 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 2x^2 + 2x - 2 - 4x - 2 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

Упрощаем уравнение, деля его на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Для решения уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\) используем формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Шаг 5: Найдем площадь между графиками

Площадь фигуры, ограниченной графиками функции, задается интегралом от разности функций на отрезке от \(x = -1\) до \(x = 2\): \[ S = \int_{-1}^{2} (F(x) - (4x + 2)) \, dx \]

Выразим интеграл

\[ S = \int_{-1}^{2} \left( (2x^2 + 2x - 2) - (4x + 2) \right) \, dx \] \[ = \int_{-1}^{2} (2x^2 + 2x - 2 - 4x - 2) \, dx \] \[ = \int_{-1}^{2} (2x^2 - 2x - 4) \, dx \]

Вычислим интеграл

\[ S = \left[ \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x \right]_{-1}^{2} \]

Находим значение интеграла в границах: \[ S = \left( \frac{2}{3}(2^3) - (2^2) - 4(2) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1^3) - (-1^2) - 4(-1) \right) \]

Посчитаем: \[ = \left( \frac{16}{3} - 4 - 8 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 1 + 4 \right) \] \[ = \left( \frac{16}{3} - \frac{12}{3} - \frac{24}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} + 3 \right) \] \[ = \left( \frac{-20}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} + \frac{9}{3} \right) = \left( \frac{-20}{3} + \frac{11}{3} \right) = \left( -\frac{9}{3} \right) = -3 \]

Однако площадь не может быть отрицательной, поэтому мы берем модуль: \[ S = 3 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной графиками функции \(y=4x+2\) и её первообразной, равна \(3\) единицам площади.