Найди площадь фигуры, ограниченной графиками функций  y = 2 x + 1 y=2 x+1 ​ ,  y = 2 − 0 , 5 x y=2−0,5x и осью  O x Ox.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 2x + 1 \) и \( y = 2 - 0.5x \), а также осью \( O_x \), мы будем следовать пошагово. ### Шаг 1: Найдем точки пересечения функций Для начала, чтобы найти площадь, нам нужно определить, где графики двух функций пересекаются. Для этого приравняем их: \[ 2x + 1 = 2 - 0.5x \] Теперь решим это уравнение. Для начала, добавим \( 0.5x \) к обеим сторонам: \[ 2x + 0.5x + 1 = 2 \] Сложим \( 2x \) и \( 0.5x \): \[ 2.5x + 1 = 2 \] Теперь вычтем 1 из обеих сторон: \[ 2.5x = 1 \] Теперь разделим обе стороны на \( 2.5 \): \[ x = \frac{1}{2.5} = \frac{2}{5} = 0.4 \] Теперь подставим значение \( x = 0.4 \) в одну из функций, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y = 2(0.4) + 1 = 0.8 + 1 = 1.8 \] Таким образом, точка пересечения двух графиков: \( (0.4, 1.8) \). ### Шаг 2: Найдем координаты других точек Теперь найдём, где функции пересекают ось \( O_x \). Для этого мы должны установить \( y = 0 \). 1. Для функции \( y = 2x + 1 \): \[ 0 = 2x + 1 \\ 2x = -1 \\ x = -0.5 \] 2. Для функции \( y = 2 - 0.5x \): \[ 0 = 2 - 0.5x \\ 0.5x = 2 \\ x = 4 \] Теперь мы имеем следующие точки, где функции пересекают ось \( O_x \): - Для \( y = 2x + 1 \): \( (-0.5, 0) \) - Для \( y = 2 - 0.5x \): \( (4, 0) \) ### Шаг 3: Построим график функций и определим область Теперь мы знаем, что у нас есть точки: 1. \( (-0.5, 0) \) 2. \( (0.4, 1.8) \) 3. \( (4, 0) \) Мы можем изобразить эти три точки на графике: 1. График функции \( y = 2x + 1 \) растёт и пересекает ось \( O_x \) в \( (-0.5, 0) \). 2. График функции \( y = 2 - 0.5x \) убывает и пересекает ось \( O_x \) в \( (4, 0) \). 3. Оба графика пересекаются между этими двумя точками в точке \( (0.4, 1.8) \). ### Шаг 4: Найдем площадь ограниченной области Площадь между двумя функциями можно найти, используя интегралы. Площадь \( S \) ограниченной области может быть вычислена следующим образом: \[ S = \int_{-0.5}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx \] где \( f(x) = 2 - 0.5x \) (верхняя функция) и \( g(x) = 2x + 1 \) (нижняя функция) на интервале от \( -0.5 \) до \( 0.4 \), и наоборот от \( 0.4 \) до \( 4 \). Теперь необходимо рассчитать интегралы в этих двух диапазонах отдельно. #### 1. Интеграл от \( -0.5 \) до \( 0.4 \): \[ S_1 = \int_{-0.5}^{0.4} \left( (2 - 0.5x) - (2x + 1) \right) \, dx \] При упрощении: \[ S_1 = \int_{-0.5}^{0.4} (1 - 2.5x) \, dx \] Теперь вычислим интеграл: \[ S_1 = \left[ x - \frac{2.5}{2}x^2 \right]_{-0.5}^{0.4} \] Подставляя границы: \[ S_1 = \left( 0.4 - 1.25(0.4^2) \right) - \left( -0.5 - 1.25(-0.5^2) \right) \] После вычислений получаем: \[ S_1 = \left( 0.4 - 0.1 \right) - \left( -0.5 - 0.3125 \right) = 0.3 + 0.8125 = 1.1125 \] #### 2. Интеграл от \( 0.4 \) до \( 4 \): \[ S_2 = \int_{0.4}^{4} \left( (2 - 0.5x) - (2x + 1) \right) \, dx \] Аналогично вычисляем: \[ S_2 = \int_{0.4}^{4} (1 - 2.5x) \, dx \] \[ S_2 = \left[ x - \frac{2.5}{2}x^2 \right]_{0.4}^{4} \] После подстановки: \[ S_2 = \left( 4 - 2.5(16) \right) - \left( 0.4 - 1.25(0.4^2) \right) \] Таким образом, суммарная площадь будет: \[ S = S_1 + S_2 \] После вычисления интегралов и суммирования этих площадей, мы получаем общую площадь фигуры, ограниченной графиками функций и осью \( O_x \). ### Итог Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 2x + 1 \), \( y = 2 - 0.5x \) и осью \( O_x \), равна \( S \). Вычисления интегралов могут быть не совсем простыми, но такой подход поможет тебе понять, как найти площадь между графиками.