Найди площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2 x + 1 y=2 x+1 , y = 2 − 0 , 5 x y=2−0,5x и осью O x Ox .
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 2x + 1 \) и \( y = 2 - 0.5x \), а также осью \( O_x \), мы будем следовать пошагово.
Шаг 1: Найдем точки пересечения функций
Для начала, чтобы найти площадь, нам нужно определить, где графики двух функций пересекаются. Для этого приравняем их:
\[ 2x + 1 = 2 - 0.5x \]
Теперь решим это уравнение. Для начала, добавим \( 0.5x \) к обеим сторонам:
\[ 2x + 0.5x + 1 = 2 \]
Сложим \( 2x \) и \( 0.5x \):
\[ 2.5x + 1 = 2 \]
Теперь вычтем 1 из обеих сторон:
\[ 2.5x = 1 \]
Теперь разделим обе стороны на \( 2.5 \):
\[ x = \frac{1}{2.5} = \frac{2}{5} = 0.4 \]
Теперь подставим значение \( x = 0.4 \) в одну из функций, чтобы найти соответствующее значение \( y \):
\[ y = 2(0.4) + 1 = 0.8 + 1 = 1.8 \]
Таким образом, точка пересечения двух графиков: \( (0.4, 1.8) \).
Шаг 2: Найдем координаты других точек
Теперь найдём, где функции пересекают ось \( O_x \). Для этого мы должны установить \( y = 0 \).
- Для функции \( y = 2x + 1 \):
\[ 0 = 2x + 1 \\ 2x = -1 \\ x = -0.5 \]
- Для функции \( y = 2 - 0.5x \):
\[ 0 = 2 - 0.5x \\ 0.5x = 2 \\ x = 4 \]
Теперь мы имеем следующие точки, где функции пересекают ось \( O_x \):
- Для \( y = 2x + 1 \): \( (-0.5, 0) \)
- Для \( y = 2 - 0.5x \): \( (4, 0) \)
Шаг 3: Построим график функций и определим область
Теперь мы знаем, что у нас есть точки:
- \( (-0.5, 0) \)
- \( (0.4, 1.8) \)
- \( (4, 0) \)
Мы можем изобразить эти три точки на графике:
- График функции \( y = 2x + 1 \) растёт и пересекает ось \( O_x \) в \( (-0.5, 0) \).
- График функции \( y = 2 - 0.5x \) убывает и пересекает ось \( O_x \) в \( (4, 0) \).
- Оба графика пересекаются между этими двумя точками в точке \( (0.4, 1.8) \).
Шаг 4: Найдем площадь ограниченной области
Площадь между двумя функциями можно найти, используя интегралы. Площадь \( S \) ограниченной области может быть вычислена следующим образом:
\[ S = \int_{-0.5}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx \]
где \( f(x) = 2 - 0.5x \) (верхняя функция) и \( g(x) = 2x + 1 \) (нижняя функция) на интервале от \( -0.5 \) до \( 0.4 \), и наоборот от \( 0.4 \) до \( 4 \).
Теперь необходимо рассчитать интегралы в этих двух диапазонах отдельно.
1. Интеграл от \( -0.5 \) до \( 0.4 \):
\[ S_1 = \int_{-0.5}^{0.4} \left( (2 - 0.5x) - (2x + 1) \right) \, dx \]
При упрощении:
\[ S_1 = \int_{-0.5}^{0.4} (1 - 2.5x) \, dx \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ S_1 = \left[ x - \frac{2.5}{2}x^2 \right]_{-0.5}^{0.4} \]
Подставляя границы:
\[ S_1 = \left( 0.4 - 1.25(0.4^2) \right) - \left( -0.5 - 1.25(-0.5^2) \right) \]
После вычислений получаем:
\[ S_1 = \left( 0.4 - 0.1 \right) - \left( -0.5 - 0.3125 \right) = 0.3 + 0.8125 = 1.1125 \]
2. Интеграл от \( 0.4 \) до \( 4 \):
\[ S_2 = \int_{0.4}^{4} \left( (2 - 0.5x) - (2x + 1) \right) \, dx \]
Аналогично вычисляем:
\[ S_2 = \int_{0.4}^{4} (1 - 2.5x) \, dx \]
\[ S_2 = \left[ x - \frac{2.5}{2}x^2 \right]_{0.4}^{4} \]
После подстановки:
\[ S_2 = \left( 4 - 2.5(16) \right) - \left( 0.4 - 1.25(0.4^2) \right) \]
Таким образом, суммарная площадь будет:
\[ S = S_1 + S_2 \]
После вычисления интегралов и суммирования этих площадей, мы получаем общую площадь фигуры, ограниченной графиками функций и осью \( O_x \).
Итог
Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 2x + 1 \), \( y = 2 - 0.5x \) и осью \( O_x \), равна \( S \). Вычисления интегралов могут быть не совсем простыми, но такой подход поможет тебе понять, как найти площадь между графиками.
