Постройте таблицу истинности для логической функции (X /\ ¬ Y) \/ (Y \/ ¬ Z /\ X) В ответе укажите, в скольких строках таблицы функция принимает значение 0.
Чтобы построить таблицу истинности для логической функции \( (X \land \neg Y) \lor (Y \lor \neg Z \land X) \), давайте сначала разберем все элементы, которые у нас есть: переменные \( X \), \( Y \), и \( Z \), а также логические операции: конъюнкция (AND, обозначается как \( \land \)), дизъюнкция (OR, обозначается как \( \lor \)) и отрицание (NOT, обозначается как \( \neg \)).
Шаг 1: Определяем переменные и их значения.
Переменные \( X \), \( Y \), и \( Z \) могут принимать значения 0 (ложь) или 1 (истина). Таким образом, у нас будет 2^3 = 8 возможных комбинаций значений для трех переменных. Мы будем перечислять все возможные комбинации:
| X | Y | Z |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Шаг 2: Находим значения отдельных частей функции.
Теперь будем вычислять значения \( (X \land \neg Y) \) и \( (Y \lor \neg Z \land X) \) для каждой комбинации.
- Вычисляем \( \neg Y \) и \( \neg Z \):
| X | Y | Z | \( \neg Y \) | \( \neg Z \) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
- Вычисляем \( (X \land \neg Y) \):
| X | Y | \( \neg Y \) | \( X \land \neg Y \) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
- Вычисляем \( (Y \lor \neg Z \land X) \):
Для этого сначала вычислим \( \neg Z \land X \):
| X | Z | \( \neg Z \) | \( \neg Z \land X \) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Теперь добавим значение \( Y \) к вычислению:
| X | Y | \( \neg Z \land X \) | \( Y \lor (\neg Z \land X) \) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Шаг 3: Вычисляем итоговую функцию.
Теперь комбинируем все в итоговом выражении \( (X \land \neg Y) \lor (Y \lor \neg Z \land X) \):
| X | Y | \( X \land \neg Y \) | \( Y \lor (\neg Z \land X) \) | Итог |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Шаг 4: Подсчитываем количество строк с 0.
Теперь нам нужно подсчитать количество строк, в которых итоговое значение равно 0. Мы видим, что это происходит в первых двух строках таблицы.
Таким образом, функция \( (X \land \neg Y) \lor (Y \lor \neg Z \land X) \) принимает значение 0 в 2 строках таблицы истинности.
