В треугольнике ABC проведена биссектриса AN, угол ANC равен 67°, а угол ABC равен 40°. Найти угол ACB

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольников и биссектрис. 1. **Запишем известные данные:** - Угол \( \angle ANC = 67^\circ \) - Угол \( \angle ABC = 40^\circ \) 2. **Найдем угол \( \angle ACB \):** По свойству биссектрисы, она делит угол на две равные части. Обозначим угол \( \angle A = \angle BAC \). Таким образом, угол \( \angle ANB \) будет равен углу \( \angle ANC \): \[ \angle ANB = 67^\circ \] 3. **В треугольнике ABC сумма углов равна \( 180^\circ \):** \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Мы знаем \( \angle ABC = 40^\circ \) и \( \angle ANB = 67^\circ \). Следовательно, угол \( \angle A \) можно выразить через угол \( \angle ACB \) следующим образом: \[ \angle ACB = \angle C \] Подставим известные значения: \[ \angle A + 40^\circ + \angle C = 180^\circ \] 4. **Выразим \( \angle ACB \):** Также из предыдущего шага нам известно, что угол \( ANB = 67^\circ \). В треугольнике \( ANB \) также можно использовать правило, что сумма углов: \[ \angle A + \angle N + \angle B = 180^\circ \] где \( \angle N \) — равен \( \angle ANC \) и равен \( 67^\circ \). Тогда: \[ \angle A + 67^\circ + 40^\circ = 180^\circ \] 5. **Просуммируем известные углы:** \[ \angle A + 107^\circ = 180^\circ \] 6. **Выразим угол \( A \):** \[ \angle A = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ \] 7. **Теперь найдем угол \( \angle ACB \):** Используем сумму углов в треугольнике: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] \[ 73^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ \] \[ 113^\circ + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle C = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ \] **Ответ:** Угол \( ACB = 67^\circ \).