В треугольнике ABC проведена биссектриса AN, угол ANC равен 67°, а угол ABC равен 40°. Найти угол ACB

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольников и биссектрис.

1. Запишем известные данные:

   • Угол \( \angle ANC = 67^\circ \)
   • Угол \( \angle ABC = 40^\circ \)

2. Найдем угол \( \angle ACB \): По свойству биссектрисы, она делит угол на две равные части. Обозначим угол \( \angle A = \angle BAC \). Таким образом, угол \( \angle ANB \) будет равен углу \( \angle ANC \): \[ \angle ANB = 67^\circ \]

3. В треугольнике ABC сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

   Мы знаем \( \angle ABC = 40^\circ \) и \( \angle ANB = 67^\circ \). Следовательно, угол \( \angle A \) можно выразить через угол \( \angle ACB \) следующим образом: \[ \angle ACB = \angle C \]

   Подставим известные значения: \[ \angle A + 40^\circ + \angle C = 180^\circ \]

4. Выразим \( \angle ACB \): Также из предыдущего шага нам известно, что угол \( ANB = 67^\circ \). В треугольнике \( ANB \) также можно использовать правило, что сумма углов: \[ \angle A + \angle N + \angle B = 180^\circ \] где \( \angle N \) — равен \( \angle ANC \) и равен \( 67^\circ \). Тогда: \[ \angle A + 67^\circ + 40^\circ = 180^\circ \]

5. Просуммируем известные углы: \[ \angle A + 107^\circ = 180^\circ \]

6. Выразим угол \( A \): \[ \angle A = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ \]

7. Теперь найдем угол \( \angle ACB \): Используем сумму углов в треугольнике: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] \[ 73^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ \] \[ 113^\circ + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle C = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ \]

Ответ: Угол \( ACB = 67^\circ \).