√75*√48*√12

Чтобы решить задачу \( \sqrt{75} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{12} \), давайте сначала воспользуемся свойством квадратных корней, которое гласит, что \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). Это позволит нам объединить все подкоренные выражения в одно.

1. Объединим квадратные корни: \[ \sqrt{75} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{75 \cdot 48 \cdot 12} \]

2. Теперь найдем произведение \( 75 \cdot 48 \cdot 12 \).

   • Начнем с \( 75 \cdot 48 \): \[ 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 \quad (то есть 75 = 3 \cdot 5^2) \] \[ 48 = 3 \cdot 16 = 3 \cdot 4^2 \quad (то есть 48 = 3 \cdot 4^2) \] Подсчитаем: \[ 75 \cdot 48 = (3 \cdot 5^2) \cdot (3 \cdot 4^2) = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 4^2 \]

3. Теперь добавим \( 12 \): \[ 12 = 3 \cdot 4 \] Подсчитаем: \[ 75 \cdot 48 \cdot 12 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 4^2 \cdot (3 \cdot 4) = 3^3 \cdot 5^2 \cdot 4^3 \]

4. Теперь вычислим это произведение: \[ 75 \cdot 48 \cdot 12 = 3^3 \cdot 5^2 \cdot 4^3 \] но для упрощения нам нужно уже вытащить корень из этого произведения: \[ \sqrt{75 \cdot 48 \cdot 12} = \sqrt{3^3 \cdot 5^2 \cdot 4^3} \]

5. Применим свойства квадратного корня: \[ = \sqrt{3^3} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{4^3} = 3^{3/2} \cdot 5^{2/2} \cdot 4^{3/2} \]

6. Упростим: \[ = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sqrt{4} \] Здесь \( \sqrt{5^2} = 5 \) и \( \sqrt{4^3} = 4 \cdot 2 = 8 \).

7. Упрощая дальше, получаем: \[ = 3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} = 120\sqrt{3} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \sqrt{75} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{12} = 120\sqrt{3} \]