Найди вероятность, что Саша, стреляя из лука, попадёт в мишень на 9 выстреле из 10 попыток. если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,9

Чтобы найти вероятность того, что Саша попадет в мишень на 9-м выстреле из 10 попыток, когда вероятность попадания при одном выстреле составляет 0,9, можно использовать биномиальное распределение.

Шаг 1: Параметры задачи

• Вероятность попадания (успеха) в одном выстреле: \( p = 0,9 \)
• Вероятность промаха в одном выстреле: \( q = 1 - p = 0,1 \)
• Общее число выстрелов: \( n = 10 \)
• Нам нужно, чтобы на 9-м выстреле Саша попал в мишень, при этом он должен был промахнуться в 10-м выстреле.

Шаг 2: Найдем необходимые события

Для того чтобы Саша попал на 9-м выстреле, он может попасть или промахнуться в первых 9 выстрелах. Но так как мы рассматриваем вероятность попадания именно на 9-м выстреле из 10, нам нужно учитывать случаи, при которых он попадает 8 раз из первых 9 и попадает на 9-м выстреле.

Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения

Вероятность получить определенное количество успехов (попаданий) в серии независимых испытаний может быть вычислена по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству сочетаний из \( n \) по \( k \).
• \( p \) — вероятность успеха (попадания).
• \( q \) — вероятность неудачи (промаха).
• \( n \) — общее количество испытаний.
• \( k \) — количество успешных испытаний.

В нашем случае:

• Мы хотим, чтобы из первых 9 выстрелов Саша попал 8 раз, а затем попал в 9-м выстреле:
  • \( k = 8 \)
  • \( n = 9 \)

Формула будет выглядеть так:

\[ P(X = 8) = C(9, 8) \cdot (0,9)^8 \cdot (0,1)^{1} \]

Шаг 4: Вычисление биномиального коэффициента

\[ C(9, 8) = \frac{9!}{8!(9-8)!} = \frac{9!}{8! \cdot 1!} = \frac{9 \cdot 8!}{8! \cdot 1} = 9 \]

Шаг 5: Подставим значения в формулу

\[ P(X = 8) = 9 \cdot (0,9)^8 \cdot (0,1)^1 \]

Теперь поднимем 0,9 в 8-ую степень:

\[ (0,9)^8 \approx 0,43046721 \]

Теперь подставим это значение:

\[ P(X = 8) \approx 9 \cdot 0,43046721 \cdot 0,1 \approx 9 \cdot 0,043046721 \approx 0,387420489 \]

Шаг 6: Общая вероятность

Таким образом, вероятность того, что Саша попадет в мишень на 9-м выстреле, составляет примерно 0,387 (или 38,7%).

Ответ

Вероятность того, что Саша попадет в мишень на 9-м выстреле из 10 попыток, равна приблизительно 0,387.