Точки Ри Q середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см.
Для решения задачи начнём с анализа данных. У нас есть треугольник \( ABC \), и точки \( P \) и \( Q \) являются серединами сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно. Нам также дано, что периметр треугольника \( APQ \) равен 21 см, и мы должны найти периметр треугольника \( ABC \).
Свойства середины отрезков: Напомним, что если \( P \) и \( Q \) - середины сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно, то отрезок \( PQ \) является параллельным стороне \( BC \) и равен половине её длины по теореме о средней линии в треугольнике.
Длины сторон: Обозначим длины сторон следующим образом:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)
По теореме о средней линии: \[ PQ = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a \]
Периметр треугольника APQ: Теперь запишем периметр треугольника \( APQ \): \[ AP + PQ + AQ \] Длины \( AP \) и \( AQ \) равны половинам длин сторон \( AB \) и \( AC \): \[ AP = \frac{1}{2} c, \quad AQ = \frac{1}{2} b \] Поэтому периметр треугольника \( APQ \) можно записать как: \[ \text{Периметр } APQ = AP + PQ + AQ = \frac{1}{2} c + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b \] Это можно переписать так: \[ \text{Периметр } APQ = \frac{1}{2} (a + b + c) \]
Использование данных: Теперь мы знаем, что периметр треугольника \( APQ \) равен 21 см: \[ \frac{1}{2} (a + b + c) = 21 \] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ a + b + c = 42 \]
Итог: Периметр треугольника \( ABC \) равен 42 см.
Таким образом, мы вычислили, что периметр треугольника \( ABC \) равен 42 см.
