Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если M(-3; 1), N(4:-5)

Для того чтобы составить уравнение окружности с диаметром, заданным двумя точками M и N, нам понадобятся следующие шаги:

1. Найдем координаты центра окружности.

Центрой будет середина отрезка MN. Сначала найдем координаты этой середины:

\[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

где (x1, y1) — координаты точки M, а (x2, y2) — координаты точки N.

Подставляем координаты точек M(-3, 1) и N(4, -5):

\[ C\left(\frac{-3 + 4}{2}, \frac{1 - 5}{2}\right) \]

Рассчитаем:

\[ C\left(\frac{1}{2}, \frac{-4}{2}\right) = C\left(\frac{1}{2}, -2\right) \]

2. Найдем радиус окружности.

Радиус окружности равен половине расстояния между точками M и N. Сначала найдем это расстояние, используя формулу:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставим наши точки M и N:

\[ d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(4 + 3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \]

Таким образом, радиус \( r \) будет равен половине расстояния:

\[ r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{85}}{2} \]

3. Напишем уравнение окружности.

Уравнение окружности с центром в точке \( C(a, b) \) и радиусом \( r \) записывается как:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \]

Подставим \( a = \frac{1}{2} \), \( b = -2 \) и \( r^2 = \left(\frac{\sqrt{85}}{2}\right)^2 = \frac{85}{4} \):

\[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 2)^2 = \frac{85}{4} \]

4. Итоговое уравнение.

Таким образом, уравнение окружности, заданной диаметром MN, будет выглядеть следующим образом:

\[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 2)^2 = \frac{85}{4} \]

Это и есть решение вашей задачи. Если остались вопросы или понадобится дополнительное пояснение, дайте знать!