Для расчёта изменения массы  m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула   m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ​ ⋅2 − T τ ​ , где  m 0 m 0 ​  — начальная масса изотопа (в мг),  τ τ — время, которое прошло от начального момента (в мин),  T T — период полураспада (в мин). Найди, через сколько минут масса изотопа составит  65 65 мг, если в начальный момент его масса была  520 520 мг, а период полураспада составляет  2 2 минуты.

Чтобы решить задачу, используем данную формулу распада радиоактивного изотопа: \[ m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}} \] где: - \( m \) — конечная масса изотопа, - \( m_0 \) — начальная масса изотопа, - \( \tau \) — время, прошедшее с начала наблюдения, - \( T \) — период полураспада. Дано: - Начальная масса, \( m_0 = 520 \) мг, - Конечная масса, \( m = 65 \) мг, - Период полураспада, \( T = 2 \) минуты. Необходимо найти \( \tau \) — время, через которое масса изотопа составит 65 мг. ### Шаг 1: Подставим известные значения в формулу Мы можем переписать формулу, чтобы изолировать \( \tau \): \[ 65 = 520 \cdot 2^{-\frac{\tau}{2}} \] ### Шаг 2: Разделим обе части уравнения на 520 \[ \frac{65}{520} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \] Упрощаем дробь: \[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \] ### Шаг 3: Преобразуем \( \frac{1}{8} \) в степень двойки Мы знаем, что: \[ \frac{1}{8} = 2^{-3} \] Поэтому получаем: \[ 2^{-3} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \] ### Шаг 4: Приравняем степени двойки Так как основания одинаковые, мы можем приравнять их показатели: \[ -3 = -\frac{\tau}{2} \] ### Шаг 5: Умножим обе части на -2 \[ \tau = 6 \text{ минут} \] ### Ответ Таким образом, масса изотопа составит 65 мг через **6 минут**.