Для расчёта изменения массы m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ⋅2 − T τ , где m 0 m 0 — начальная масса изотопа…
Для расчёта изменения массы m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ⋅2 − T τ , где m 0 m 0 — начальная масса изотопа (в мг), τ τ — время, которое прошло от начального момента (в мин), T T — период полураспада (в мин). Найди, через сколько минут масса изотопа составит 65 65 мг, если в начальный момент его масса была 520 520 мг, а период полураспада составляет 2 2 минуты.
Чтобы решить задачу, используем данную формулу распада радиоактивного изотопа:
\[ m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}} \]
где:
- \( m \) — конечная масса изотопа,
- \( m_0 \) — начальная масса изотопа,
- \( \tau \) — время, прошедшее с начала наблюдения,
- \( T \) — период полураспада.
Дано:
- Начальная масса, \( m_0 = 520 \) мг,
- Конечная масса, \( m = 65 \) мг,
- Период полураспада, \( T = 2 \) минуты.
Необходимо найти \( \tau \) — время, через которое масса изотопа составит 65 мг.
Шаг 1: Подставим известные значения в формулу
Мы можем переписать формулу, чтобы изолировать \( \tau \):
\[ 65 = 520 \cdot 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
Шаг 2: Разделим обе части уравнения на 520
\[ \frac{65}{520} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
Упрощаем дробь:
\[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
Шаг 3: Преобразуем \( \frac{1}{8} \) в степень двойки
Мы знаем, что:
\[ \frac{1}{8} = 2^{-3} \]
Поэтому получаем:
\[ 2^{-3} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
Шаг 4: Приравняем степени двойки
Так как основания одинаковые, мы можем приравнять их показатели:
\[ -3 = -\frac{\tau}{2} \]
Шаг 5: Умножим обе части на -2
\[ \tau = 6 \text{ минут} \]
Ответ
Таким образом, масса изотопа составит 65 мг через 6 минут.
